Dominanzgesetz

07.11.2020, 10:38	Tastatur93213	Auf diesen Beitrag antworten »
Dominanzgesetz Hey, ich lerne gerade Mathe und ich bin da auf ein Stein gestoßen, den ich nicht wegbekomme. Verstehe irgendwie dieses Gesetz nicht, kann es mir jemand erklären? Satz 1.8. Es seien A und B beliebige Aussagen. Dann gilt: Dominanzgesetz (Identität) $\begin{eqnarray} A \vee w \equiv w \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \wedge w \equiv A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \vee f \equiv A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \wedge f \equiv f \end{eqnarray}$
07.11.2020, 11:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es scheint hier um Boolesche Algebra zu gehen, $\begin{align} \operatorname{w} \end{align}$ (wahr) und $\begin{align} \operatorname{f} \end{align}$ (falsch) sind die neutralen Elemente der Konjunktion beziehungsweise Adjunktion. Das besagen das zweite und dritte Gesetz deiner Liste. Bezüglich der jeweils anderen Operation wirken sich diese beiden Elemente als dominant aus (erstes und viertes Gesetz). Vergleiche das mit der Rolle der 0 beim Zahlenrechnen. Bezüglich der Addition ist 0 neutrales Element: $\begin{align} 3+0 = 3 \, ; \ \ 7{,}15 + 0 = 7{,}15 \end{align}$ $\begin{align} a + 0 = a \ \ \mbox{für alle} \ a \end{align}$ (0 ist neutrales Element bezüglich der Addition) $\begin{align} 3 \cdot 0 = 0 \, ; \ \ 7{,}15 \cdot 0 = 0 \end{align}$ $\begin{align} a \cdot 0 = 0 \ \ \mbox{für alle} \ a \end{align}$ (0 ist dominantes Element bezüglich der Multiplikation) $\begin{align} A \vee \operatorname{f} = A \ \ \mbox{für alle} \ A \end{align}$ $\begin{align} (\operatorname{f} \end{align}$ ist neutrales Element bezüglich der Adjunktion) $\begin{align} A \wedge \operatorname{f} = \operatorname{f} \ \ \mbox{für alle} \ A \end{align}$ ( $\begin{align} \operatorname{f} \end{align}$ ist dominantes Element bezüglich der Konjunktion)
07.11.2020, 11:18	Tastatur93213	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die gute Erklärung Kannst du mir das vielleicht noch erklären. Danke. Adjunktivit¨at (Absorption) $\begin{eqnarray} A \wedge (A \vee B) \equiv A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \vee (A \wedge B) \equiv A \end{eqnarray}$
07.11.2020, 11:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Vorstellung sind hier Venn-Diagramme hilfreich. Folgende Entsprechungen mußt du vornehmen: $\begin{align} \begin{matrix} \text{Aussagen} & \text{Mengen} \\ \operatorname{f} & \emptyset \ \text{(leere Menge)} \\ \operatorname{w} & \Omega \ \text{(volle Menge)} \\ \vee & \cup \ \text{(Vereinigung)} \\ \wedge & \cap \ \text{(Durchschnitt)} \end{matrix} \end{align}$ Das zweite Absorptionsgesetz findest du bei 1 Answer dargestellt (der rechteckige Kasten stellt $\begin{align} \Omega \end{align}$ dar, die Kreisflächen stehen für $\begin{align} A \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} B \end{align}$ ).

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