Inneres, Abschluss und Rand bestimmen und Theorie

07.11.2020, 15:56	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Inneres, Abschluss und Rand bestimmen und Theorie Guten Tag zusammen , ich sitze grad an meinen Topologie Aufgaben und brauche eure Hilfe. und ich will wissen ob meine Überlegungen stimmen. Aufgabe 1: Seien $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Teilmengen eines topologischen Raumes $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: (a) $\begin{eqnarray} \overline{(A\cap B)}\subset \bar{A}\cap\bar{B} \end{eqnarray}$ . Geben sie ein Gegenbeispiel für die Inklusion $\begin{eqnarray} \supset \end{eqnarray}$ an. Meine Idee: Das Gegenbeispiel ist z.B $\begin{eqnarray} A=\mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \overline{(A\cap B)}=\overline {\mathbb Q \cap \mathbb R \setminus \mathbb Q}=\overline {\emptyset}=\emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{\mathbb Q}=\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb R \setminus \mathbb Q}=\overline{\mathbb R}=\mathbb R \end{eqnarray}$ und der schnitt wäre $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und dieser ist ja nicht in der leere menge enhalten, also gilt die Rückinklusion schonmal nicht. Aber die inklusion von links nach rechts? Würde sagen sei $\begin{eqnarray} x \in A\cap B \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray}$ also auch im Abschluss da das Innere immer im Abschluss drin ist? wenn ich jetzt beides einzelnd Abschließe also A und B und dann schneide ist es ja auch drin , aber wie sage ich das mathemarisch? (b) $\begin{eqnarray} \delta A = \emptyset \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ A ist offen und abgeschlossen Meine idee: Der Rand ist ja definiert als $\begin{eqnarray} \delta A= \bar{A}\setminus A^{\circ} \end{eqnarray}$ Abschluss ohne das Innere. das heißt doch das dann Abschluss und das Innere identisch sein müssen oder? Aber wie zeige ich das mathematisch?... ich verwirr mich da da grad selber ... (C) Bestimme das Innere $\begin{eqnarray} A^{\circ} \end{eqnarray}$ , den Abschluss $\begin{eqnarray} \overline A \end{eqnarray}$ und den Rand $\begin{eqnarray} \delta A \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A:= \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 . 0 < x^2+y^2\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ (i) in $\begin{eqnarray} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray}$ (ii) in $\begin{eqnarray} D^{2}:= \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 : x^2+y^2\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ (iii) in A Meine Idee: (i) $\begin{eqnarray} A^{\circ}= \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 . 0 < x^2+y^2 < 1\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline A=\left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 . 0 < x^2+y^2\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta A=\left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 . also x^2+y^2 = 0 oder x^2+y^2=1\right\} \end{eqnarray}$ also doch quasi die Linie mit Radius 1 und die Null ? (ii) $\begin{eqnarray} A^{\circ}= \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 . 0 < x^2+y^2 < 1\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline A=\left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 . x^2+y^2\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ [latex]\delta A=\left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 . x^2+y^2=1\right\} (iii) ist es nicht das gleiche wie in (ii) ?wenn nein warum? Hoffe ihr könnt mir helfen ... danke schonmal mfg Susanno
08.11.2020, 12:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inneres, Abschluss und Rand bestimmen und Theorie (a) Da hast du schon alles notwendige zusammen: Aus $\begin{eqnarray} x\in A\cap B \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x\in A \subset \bar A \end{eqnarray}$ . Also hat man auch $\begin{eqnarray} A\cap B\subset \bar A \cap \bar B \end{eqnarray}$ . So eine Inklusion bleibt erhalten, wenn man zum Abschluss übergeht $\begin{eqnarray} \overline{A\cap B}\subset\overline{ \bar A \cap \bar B} \end{eqnarray}$ (b)Auch da bist du schon fertig: Aus $\begin{eqnarray} \emptyset = \delta A= \bar{A}\setminus A^{\circ} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \bar{A} = A^{\circ} \end{eqnarray}$ . Es gilt aber immer $\begin{eqnarray} \bar{A} \supset A \supset A^{\circ} \end{eqnarray}$ (c)(i) Zum Abschluss gehört auch der Nullpunkt Bei (ii) und (iii) solltest du überlegen, wie jeweilsdie offenen Mengen aussehen
08.11.2020, 16:24	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
in (ii) $\begin{eqnarray} A^{\circ}={(x,y)\in (\mathbb R)^2:x^2+y^2<1}<br /> \overline{A}={(x,y)\in (\mathbb R)^2:x^2+y^2 \leq 1}<br /> \delta A= {(x,y)\in (\mathbb R)^2:x^2+y^2 = 1} \end{eqnarray}$ (iii) Ist das nicht jeweils die Menge selber? Also $\begin{eqnarray} A^{\circ}=A<br /> \overline{A}=A<br /> \delta A=\emptyset<br /> \end{eqnarray}$ ist das so richtig?
08.11.2020, 16:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
(ii) $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist offen in der Relativtopologie von $\begin{eqnarray} D^2 \end{eqnarray}$ . Finde eine in $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ offene Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=D^2\cap S \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \bar A = D^2 \end{eqnarray}$ ist richtig. Der Rand ist dann $\begin{eqnarray} \{(0,0)\} \end{eqnarray}$ (iii) ist richtig. Für jeden topologischen Raum $\begin{eqnarray} (X,\cal O) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ offen und abgeschlossen.
08.11.2020, 17:38	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
scheiße mir ist aufgefallen D aus der Aufgabenstellung ist ohne das = zeichen,,, also $\begin{eqnarray} D^{2}:= \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 : x^2+y^2 < 1\right\} \end{eqnarray}$ wie sieht es dann aus ?
08.11.2020, 17:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ keine Teilmenge von $\begin{eqnarray} D^2 \end{eqnarray}$
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08.11.2020, 17:47	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wäre quasi alles die Leere Menge? wenn es nicht A keine Teilmenge von D ist ...?
08.11.2020, 19:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall ergibt die Frage für mich einfach keinen Sinn.

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