Offen oder abgeschlossen?

07.11.2020, 17:21

Susanno95

Offen oder abgeschlossen?

Ich bin es nochmal ,
hab hier eine weitere Aufgabe und hoffe ihr könnt mir helfen :3

So die Aufgabe lautet :

Untersuchen sie

$\begin{eqnarray*} M=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 : | (x,y)-(\frac{1}{2^n},0)|< \frac{1}{2^{n+2}} \right\} \end{eqnarray*}$

auf Offenheit und abgeschlossenheit. Bestimme jeweils auch die abgeschlossene Hülle , den offenen Kern und den Rand.

Meine IDEE.

ich habe mir das mal für mehrere n ausgerechnet:
n=1: $\begin{eqnarray*} M=\bigcup\limits_{n=1}^{1} \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 : | (x-\frac{1}{2},y)|< \frac{1}{8} \right\} \end{eqnarray*}$

n=2 : $\begin{eqnarray*} M=\left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 : | (x-\frac{1}{2},y)|< \frac{1}{8} \right\} \cup<br /> \left\{ (x,y)\in {\mathbb R}^2 : | (x-\frac{1}{4},y)|< \frac{1}{16} \right\} \end{eqnarray*}$

also das sind Kugel dessen Mittelpunkt sich um 1/(2^n) verschiebt und dessen Radius immer kleiner wird.

aber liegen diese ineinander also quasi ineinander? also M(n=1) liegt in M(n=2)? oder wie jetzt?

Also wenn die einzlenen n=1,2,3,4,.... M offen wäre . wäre ja auch die Verinigung (beliebing vieler) offen. (Satz aus VL) . blos wie bekomme ich jezzt es hin? Also ich würde jetzt mal behaupten das ist offen , da ((x-1/2),y) < 1/8 die größe kugel ist wo die anderen kugeln drinligen und es somit eine Umgebung wäre?

Help.....

was wäre denn das das Innere ? Die vereinigung der inneren kerne der einzelnen Kugeln?

:/ ... ich bun zu doof ...

08.11.2020, 12:49

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Offen oder abgeschlossen?

Zitat:

aber liegen diese ineinander also quasi ineinander? also M(n=1) liegt in M(n=2)? oder wie jetzt?

Skizziere die ersten drei Kugeln.
Die (offenen) Kugeln sind paarweise diskunkt.
M ist als Vereinigung offener Mengen auch offen. Da ist es ganz egal, wie die Kugeln liegen

08.11.2020, 17:02

Susanno95

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Kugeln mit $\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{2^n})^2+y^2<\frac{1}{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$
werden immer kleiner und bewegen sich nach links

ich muss ja iwie beweisen das die offen sind , oder kann ich sagen da wir im R^2 sind sind es Kugel , und da wir offene Kugeln als < definiert haben ist es offen?

08.11.2020, 17:06

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ungleichung ist falsch, da fehlt rechts das Quadrat.
Es kommt darauf an, was ihr in der Vorlesung schon über die offenen Mengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ gezeigt habt. Wenn die Definition offener Mengen die Kugeln enthält, bist du fertig. Viel mehr kann ich dazu nicht sagen, weil ich eben deine Vorlesung nicht kenne.

08.11.2020, 17:20

Susanno95

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay habe es mir nochmal zeichnen lassen es sihet jetzt aus , das die Kugeln zu einander paarweise disjunkt sind aber sich immer näher von Abstand annähern.

Ja wir haben die offenheit mit Bällen definiert , kann ich aber jetzt eifach sagen da wir die offenen Bälle mit < definiert haben sind die hier gegeben Kugeln offen? und dann als Vereinigung offener mengen offen?

Dann wäre ja der Abschluss von M

$\begin{eqnarray*} \overline{M}= \bigcup \limits_{n=1}^{\infty} (x,y)\in {\mathbb R)^2}: (x-\frac{1}{2^n},y)\leq \frac{1}{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$
der Innere kern $\begin{eqnarray*} \overline{M}= \bigcup \limits_{n=1}^{\infty} (x,y)\in {\mathbb R)^2}: (x-\frac{1}{2^n},y)< \frac{1}{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$
und Der Rand $\begin{eqnarray*} \overline{M}= \bigcup \limits_{n=1}^{\infty} (x,y)\in {\mathbb R)^2}: (x-\frac{1}{2^n},y)= \frac{1}{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$

08.11.2020, 17:37

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es recht verstehe, nennt ihr eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ offen, wenn man um jeden Punkt von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ einen offen Ball legen kann, der noch ganz in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegt.
Ist nun $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ selbst so ein offener Ball, dann kann man natürlich im jeden Punkt von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ einen offenen Ball legen, der in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegt - nämlich $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ selber. Also ja, offene Bälle sind offene Mengen.

Beim Abschluss fehlt noch der Nullpunkt. Bei unendlicher Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ gilt im allgemeinen nur $\begin{eqnarray*} \cup_{i\in I}\bar A_i \subset \overline{\cup_{i\in I}A_i} \end{eqnarray*}$ aber keine Gleichheit. Hier hast du ein passendes Beispiel

08.11.2020, 17:46

Susanno95

Auf diesen Beitrag antworten »

warum fehlt der Nullpunkt wenn ich fragen darf?

08.11.2020, 19:16

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir die Mittelpunkte an.

08.11.2020, 19:22

Susanno95

Auf diesen Beitrag antworten »

ah weil der Mittelpunkt für n gegen unendlich gegen (0,y) läuft also gegn die y achse

08.11.2020, 19:26

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Man könnte auch die am weitesten links liegenden Punkte der Kugeln betrachten. Aber die Mittelpunkte hat man schon explizit gegeben Augenzwinkern

08.11.2020, 20:11

Susanno95

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke :3

Neue Frage »

Antworten »

Offen oder abgeschlossen?

Verwandte Themen