Matrix - Gruppe GL

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LukasH123 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix - Gruppe GL
Leider weiß ich nicht ganz was ich mit dem Tipp anfangen soll. Also so weit ich weiß ist GL n eine symmetrische Gruppe die auf Met(n.n;Fp). Ich soll, dass quadratische Matrix invertierbar ist, da n n quadratisch ist. Ich soll auf linear Unabhängigkeit mit den Spaltenvektoren überprüfen. Ich denk mal, dass ich Gauß Algorithmus verwenden soll (Stufenweise) und dann auf linear Unabhängigkeit hinweisen soll.

Aber ich verstehe nicht wie ich den Index aufstellen soll. Was ich darauf schreiben soll und wie das mit den Elementen der Gruppe GLn(Fp) zusammenhängt? Wie kann ich die Anzahl der Elemente bestimmen?

Ich bedanke mich im Voraus.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beginne, wie vorgeschlagen, die Matrix spaltenweise aufzubauen. Der Vektorraum hat Elemente.

1. Für die erste Spalte darfst du jeden Vektor außer dem Nullvektor nehmen: Möglichkeiten

2. Für die zweite Spalte darfst du jeden Vektor nehmen, der nicht in der linearen Hülle des ersten Vektors liegt: Möglichkeiten

3. Für die dritte Spalte darfst du jeden Vektor nehmen, der nicht in der linearen Hülle der ersten beiden Vektoren liegt: Möglichkeiten

Und so geht das weiter. Beachte schließlich das Multiplikationsprinzip der Kombinatorik.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

GL(n,K) ist die Gruppe der invertierbaren nxn-Matrizen mit Koeffizienten aus dem Körper K. Ich habe erst mal b) versucht, was ganz schnell ging. Dann hatte ich keine Geduld mehr und habe bei Wikipedia nach GL(n,p) gesucht. Dort wird die Frage erläutert und beantwortet.
LukasH123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich in der letzten Spalte p^n-p^n-1 Vektoren?

und bei b)





Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zieht man im Produkt Potenzen von aus den einzelnen Faktoren heraus, erhält man als Mächtigkeit der allgemeinen linearen Gruppe über die Anzahl



Für und ergibt das . Und das sind deine 6 Matrizen.
LukasH123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
 
 
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