BC(X,E) ist abgeschlossener Unterraum von B(X,E) bezüglich Supremumsnorm

08.11.2020, 03:04

Namenloser324

BC(X,E) ist abgeschlossener Unterraum von B(X,E) bezüglich Supremumsnorm

Ich muss auf dem aktuellen Übungsblatt unter anderem beweisen, dass $\begin{eqnarray*} BC(X,E) := \{f \in B(X,E)| f ist stetig \} \end{eqnarray*}$ ein abgeschlosser Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} B(X,E):= \{f:X->E \text{ist beschränkt bezüglich Supremumsnorm}\} \end{eqnarray*}$ versehen mit der Supremumsnorm ist.
Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} (E,||\cdot||_{E} \end{eqnarray*}$ ein Banachraum und (X,d) ein metrischer Raum mit Metrik d.

Mein Ansatz ist:
Zunächst ist klar, dass BC(X,E) ein Unterraum von B(X,E), es ist also nur zu zeigen, dass BC(X,E) abgeschlossen ist. Ich würde nun per Widerspruch beweisen:
Angenommen es gäbe eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n), x_n \in BC(X,E) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} lim_{n\rightarrow \infty} x_n = f \not\in BC(X,E) \end{eqnarray*}$ , dann müsste in Unstetigkeitsstelle y von f $\begin{eqnarray*} lim_{x->y} ||f(x) - x_n(y)||_E > 2\epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und n hinreichend groß ( $\begin{eqnarray*} n > N_0\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) gelten. Für $\begin{eqnarray*} m > N_0 \end{eqnarray*}$ gilt weiterhin $\begin{eqnarray*} lim_{x->y} ||x_m(x) - x_n(y)||_E > \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , wenn wir $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ groß genug wählen. Da $\begin{eqnarray*} ||\cdot ||_E \end{eqnarray*}$ und x_m stetig sind, folgt, $\begin{eqnarray*} lim_{x->y} ||x_m(x) - x_n(y)||_E = ||x_m(y) - x_n(y)|| > \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . D.h. x_n(y) ist keine Cauchy-Folge, konvergiert also auch nicht gegen f(y), im Widerspruch zur Annahme. Also muss f stetig sein und damit BC(X,E) abgeschlossen.

Ich bin mir nicht sicher, ob der Schritt von $\begin{eqnarray*} lim_{x->y} ||f(x) - x_n(y)||_E > 2\epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} lim_{x->y} ||x_m(x) - x_n(y)||_E > \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ erlaubt ist. Oder habe ich irgendwo anders einen Fehler?

Ich bin dankbar für jeden Hinweis smile

08.11.2020, 13:00

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RE: BC(X,E) ist abgeschlossener Unterraum von B(X,E) bezüglich Supremumsnorm
Warum muss der Grenzwert $\begin{eqnarray*} lim_{x->y} ||f(x) - x_n(y)||_E \end{eqnarray*}$ überhaupt existieren?

Warum gilt das folgende?

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} m>N_0 \end{eqnarray*}$ gilt weiterhin $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to y}||x_m(x)-x_n(y)||_E>\varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , wenn wir $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ groß genug wählen.

Ich würde direkt ansetzen: $\begin{eqnarray*} \|f(x)-f(y)\|_E\leq \|f(x)-x_n(x)\|_E+\|x_n(y)-x_n(y)\|_E+\|x_n(y)-f(y)\|_E \end{eqnarray*}$

08.11.2020, 17:55

Namenloser324

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RE: BC(X,E) ist abgeschlossener Unterraum von B(X,E) bezüglich Supremumsnorm
Hallo URL,

Nach dem ich schon einiges geschrieben hatte bin ich zu der Ungleichungskette

||f(y) - f(x)|| = ||f(y) - x_m(y) + x_m(y) - (f(x) - x_n(x) + x_n(x))|| = ||( f(y) - x_m(y)) + (x_m(y) - x_n(x)) +(x_n(x) - f(x))|| <= ||f(y) - x_m(y)|| + ||x_m(y) - x_n(x)|| + ||x_n(x) - f(x)|| <= 2*epsilon + ||x_m(y) - x_n(x)|| gekommen, welche deine sein sollte. Im Grenzwert muss dann immer lim f(y) = f(x) gelten, d.h. f muss stetig sein.

Danke für deine Hilfe!

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