Hesse-Matrix (Beweis)

08.11.2020, 14:44	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Hesse-Matrix (Beweis) Meine Frage: Hallo! Wir müssen einen Beweis zur Hesse-Matrix durchführen (siehe Bild). Ich habe da einige Schwierigkeiten den Anfang zu finden. Meine Ideen: Die Hesse-Matrix ist ja die Matrix der zweifachen partiellen Ableitungen und dafür gibt es einfach eine Formel die man verwenden kann wenn die Funktion definiert ist. Nur hier muss man das ja allgemein zeigen, deswegen weiß ich nicht wirklich wie ich das hier machen soll.
08.11.2020, 14:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hesse-Matrix (Beweis) Die Funktion ist doch vollständig definiert Schreib $\begin{eqnarray} x^TAx \end{eqnarray}$ als Ausdruck in den $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ und rechne los.
09.11.2020, 11:34	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hesse-Matrix (Beweis) @URL Ach so ja eigentlich schon. Was genau meinst du denn mit xi und aij?
09.11.2020, 11:38	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hesse-Matrix (Beweis) @URL Wahrscheinlich die Hesse-Matrix oder? Aber wie genau soll man den Ausdruck da einsetzen, ich habe die Formel unten hinzugefügt. Was muss man da bei den einzelnen Ausdrücken verändern?
09.11.2020, 11:57	vorschlag	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst dir das ja zunächst mal für n=3 klarmachen : $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^T=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^TAx=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\ ~ \ ... \end{eqnarray}$
10.11.2020, 15:33	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
@vorschlag Ich verstehe die Aussagen die du in deiner Antwort geschrieben hast. Aber wie genau soll ich denn jetzt Hf(x) berechnen? Dazu muss man doch die Ableitung von x^T * Ax berechnen oder etwa nicht?
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10.11.2020, 16:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es doch selbst gepostet: Die Matrixelemente von $\begin{eqnarray} H_f(x) \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \partial_{i,j}f(x) = \frac{\partial^2}{\partial x_i ~ \partial x_j} f(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} j=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ Berechne diese Ableitungen doch einfach für die reelle Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^T A x = \sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n x_r a_{rs} x_s \end{eqnarray}$ , und zwar Schritt für Schritt: D.h., zunächst nach $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ableiten und dann nach $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ . Kleine Hilfestellung: Nutze die Produkregel, d.h. $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i} f(x) = \sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n \left( \left( \frac{\partial x_r}{\partial x_i}\right) a_{rs} x_s + x_r a_{rs} \left(\frac{\partial x_s}{\partial x_i}\right)\right) \end{eqnarray}$ . Und jetzt beachte $\begin{eqnarray} \frac{\partial x_r}{\partial x_i}=1 \end{eqnarray}$ im Fall $\begin{eqnarray} r=i \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \frac{\partial x_r}{\partial x_i}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r\neq i \end{eqnarray}$ , analog dann für $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ .

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