Sturm-Liouville-Eigenwertproblem

09.11.2020, 11:52	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Sturm-Liouville-Eigenwertproblem Guten Tag, ich hab da eine Aufgabe zum SL_EP bei der ich mir nicht sicher bin: 1) Nachdem ich die charakteristische Gleichung gelöst habe und die 3 Fallunterscheidung untersucht habe blieb nur übrig: Für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ lautet die Eigenfunktion: $\begin{eqnarray} e(x)=sin(\sqrt{\lambda} \cdot x) \end{eqnarray}$ wobei die Eigenwerte folgende Größen annehmen: $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{\pi²}{4} \cdot (2n+1)² : n\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Daraus folgt wenn man diesen Eigenwert in die Eigenfunktion einsetzt das: $\begin{eqnarray} e(x) = (-1)^n:n\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Nun soll man ein Skalarprodukt im Raum $\begin{eqnarray} C[0,1] \end{eqnarray}$ angeben, dass orthogonal zu diesen (Eigenwert)funktionen steht. Das kapiere ich nicht ganz. Soll ich da eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ suchen z.B.: Danke für die Hilfe! Beste Grüße Bernhard $\begin{eqnarray} <e,f>=\int_{0}^{1} \! e(x) \cdot f(x) \, dx =\int_{0}^{1} \! (-1)^n \cdot (x-\frac{1}{2} ) \, dx = 0 \end{eqnarray}$ [attach]52121[/attach]
09.11.2020, 12:19	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sturm-Liouville-Eigenwertproblem Sorry, die Eigenfunktionen lauten $\begin{eqnarray} e(x)=sin(\frac{\pi}{2} \cdot (2n+1)\cdot x) \end{eqnarray}$ - habe das x vergessen! Man könne sagen, dass die Eigenwertfunktionen orthogonal sind: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! sin(\frac{\pi}{2} \cdot (2n+1) \cdot x) \cdot sin(\frac{\pi}{2} \cdot (2m+1) \cdot x )\, dx=0 :n\neq m: n,m\in \mathbb Z \end{eqnarray}$
09.11.2020, 16:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst ein Skalarprodukt angeben, bezüglich dessen die von dir berechneten Eigenfunktionen orthogonal sind. Dieses Skalarprodukt hast du schon genannt. Es lautet für zwei beliebige Funktionen $\begin{eqnarray} f_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2(x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <f_1\|f_2>=\int_0^1 \underbrace{f_1(x)\cdot f_2(x)}_{\text{Faktoren}}\,dx \end{eqnarray}$ Im Gegensatz dazu treten bei anderen Sturm-Liouville-Problemen auch Skalarprodukte mit anderen Integrationsgrenzen a, b auf, wobei im Integranden gewisse Gewichtsfunktionen g(x) auftreten können: $\begin{eqnarray} <f_1\|f_2>=\int_a^b \underbrace{g(x)}_{\text{Gewicht}}\cdot \underbrace{f_1(x)\cdot f_2(x)}_{\text{Faktoren}}\,\,dx \end{eqnarray}$

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