Ungleichung

09.11.2020, 12:09

SigmaAlgebra123

Ungleichung

Meine Frage:
Hallo allerseits, ich rätsel jetzt schon eine ganze Weile an einer Aufgabe, wobei ich denke, dass diese Aufgabe eigentlich nicht so schwer sein dürft. (Bin neu in der Wahrscheinlichkeitstheorie)
Die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,A,\mathbb P\right) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit $\begin{eqnarray*} A_{1},A_{2}\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(A\right)=\frac{3}{4} ,\mathbb P\left(B\right)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie die folgende Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} \leq \mathbb P\left(A\cap B\right)\leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe schon Etliches versucht.
- Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(A\cap B\right) \end{eqnarray*}$ komme ich immer auf $\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(A\cap B\right)=0 \end{eqnarray*}$
- Habe es auch noch mit der Stetigkeit von W'Maßen versucht, aber komme auch auf nichts Halbes und nichts Ganzes.
Ein kleiner Denkanstoß wäre sehr hilfreich, denke die Aufgabe sollte eigentlich nicht so schwer sein! smile

09.11.2020, 12:16

HAL 9000

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Vielleicht kennst du die Identität $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ ? Wenn du dann noch berücksichtigst, dass $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist, weil es ja eben eine Wahrscheinlichkeit ist...

Was den anderen Teil der Doppelungleichung betrifft: Wahrscheinlichkeitsmaße sind monoton, d.h., wegen $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\subseteq B \end{eqnarray*}$ muss auch $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)\leq P(B) \end{eqnarray*}$ gelten.

Zitat:

Original von SigmaAlgebra123
- Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(A\cap B\right) \end{eqnarray*}$ komme ich immer auf $\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(A\cap B\right)=0 \end{eqnarray*}$

Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, was das für eine Berechnung sein soll. unglücklich

09.11.2020, 12:43

SigmaAlgebra123

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Erstmal danke für die Antwort:
Die obere Schranke ist nun trivial, mit $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\subseteq B \Rightarrow \mathbb P\left(A\cap B \right) \leq \mathbb P\left(B\right) \Rightarrow \mathbb P\left(A\cap B \right) \leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .
Für die untere Schranke habe ich anhand Ihrer Hinweise folgendes:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(A\cap B \right) = \frac{13}{12} -\mathbb P\left(A\cup B\right) \Rightarrow Im größten Fall ist \mathbb P\left(A\cup B\right)=1 \Rightarrow \mathbb P\left(A\cap B \right)=\frac{1}{12} im kleinsten Fall \Rightarrow \frac{1}{12}\leq \mathbb P\left(A\cap B \right) \end{eqnarray*}$
Also gilt insgesamt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}\leq \mathbb P\left(A\cap B \right) \leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das so? smile

Edit: Das $\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(A\cap B \right)=0 \end{eqnarray*}$ war ein kleiner Denkfehler.

09.11.2020, 12:47

SigmaAlgebra123

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Nochmals Edit: Ich soll durch Beispiele zeigen, dass die beiden Ungleichungen scharf sind. Heißt das, dass ich zeigen muss, dass bei beiden Ungleichungen Gleichheit gilt? (Wir hatten den Begriff scharf in der Ana nicht)

09.11.2020, 13:19

HAL 9000

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Ja, aber natürlich nicht zugleich für dasselbe Beispiel $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ . Es sind also zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ -Beispiele anzugeben, für jedes $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ jeweils ein solches Paar.

Naja, dem Beweisweg nach sollte dir klar sein, dass das linke $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ scharf ist für eine $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ -Konstellation mit $\begin{eqnarray*} A\cup B=\Omega \end{eqnarray*}$ , während man bei dem rechten $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ Gleichheit im Fall $\begin{eqnarray*} A\cap B = B \end{eqnarray*}$ , d.h. für $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ hat.

09.11.2020, 13:25

SigmaAlgebra123

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Natürlich, das war eine etwas falsche Formulierung von mir. Danke für Ihre Hilfe.

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