Gradienten und Nablaoperator

09.11.2020, 13:12	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradienten und Nablaoperator Meine Frage: Hallo! Kann mir vielleicht jemand sagen was dieses Zeichen bedeutet? Das was aussieht wie ein a in dem Bruch. Und bitte auch wofür es steht und wie man das berechnen soll. Meine Ideen: Ich habe schon danach gegoogelt aber weiß nicht wie ich es anstellen soll wenn ich den Namen des Zeichens nicht weiß.
09.11.2020, 13:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten und Nablaoperator $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{eqnarray}$ ist die partielle Ableitung von f nach der Variablen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ Das Symbol selbst hat soweit ich weiß keinen Namen, es ist ein stilisiertes d. Siehe hier und hier
09.11.2020, 14:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \partial \end{eqnarray}$ sieht aus wie ein $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ und wird gesprochen wie ein $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ . Sprachlich wird also die Ableitung $\begin{eqnarray} \frac {df}{dx} \end{eqnarray}$ und die partielle Ableitung $\begin{eqnarray} \frac {\partial f}{\partial x} \end{eqnarray}$ nicht unterschieden. Beide nennt man " $\begin{eqnarray} df \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ ".
09.11.2020, 15:16	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten und Nablaoperator @URL @Elvis Vielen Dank für die schnellen und hilfreichen Antworten!
09.11.2020, 18:26	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir wollen auch eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ von mehreren Veränderlichen ableiten können, wissen aber nur wie man das bei einer Funktion von einer Veränderlichen tut. Idee: Wir betrachten die Einschränkung des Definitionsbereichs auf eine Gerade. Parametrisieren wir diese Gerade als $\begin{eqnarray} g(t) = \mathbf p+t\mathbf v, \end{eqnarray}$ können wir die Verkettung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ betrachten, und das ist wieder eine gewöhnliche reelle Funktion, deren Ableitung auf übliche Art bestimmt wird. Man nennt diese Zahl $\begin{eqnarray} (f\circ g)'(0) \end{eqnarray}$ die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} \mathbf p \end{eqnarray}$ in Richtung $\begin{eqnarray} \mathbf v \end{eqnarray}$ , kurz $\begin{eqnarray} D_{\mathbf v} f(\mathbf p) \end{eqnarray}$ . Die Richtungsableitung im eigentlichen Sinn ist das, wenn $\begin{eqnarray} \mathbf v \end{eqnarray}$ normiert ist, d.h. wenn $\begin{eqnarray} \|\mathbf v\|=1 \end{eqnarray}$ gilt. Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Koordinatenachsen, kurz $\begin{eqnarray} \partial_k f(\mathbf p) := D_{\mathbf e_k} f(\mathbf p). \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} (\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n) \end{eqnarray}$ die Standardbasis. Die sind ja normiert und der jeweilige zeigt in Richtung einer der Koordinatenachsen.
09.11.2020, 18:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss aber nicht nur ein cartesisches Koordinatensystem sein. Partielle Differentiation funktioniert z.B. genau so in Polarkoordinaten oder in beliebigen anderen Koordinatensystemen. (https://www.math.uni-hamburg.de/teaching...8/vorl04_a3.pdf). Das wird auch sehr schön erklärt und dargestellt in Tristan Needham "Anschauliche Funktionentheorie".
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10.11.2020, 01:00	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein neues Konzept muss man dafür allerdings nicht einführen, es handelt sich vielmehr um eine Beziehung. Meine folgenden Ausführungen ergänzen die von dir referenzierten Folien. Bei gutartigen Funktionen darf man $\begin{eqnarray} \mathrm d_p f(\mathbf v) \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} D_{\mathbf v}f(p) \end{eqnarray}$ für die Richtungsableitung schreiben. Sei $\begin{eqnarray} x=\Phi(u) \end{eqnarray}$ eine Koordinatentransformation, wobei $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ die krummlinigen und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die kartesischen Koordinaten sind. Sei zudem $\begin{eqnarray} \tilde f(x) \end{eqnarray}$ ein Skalarfeld und $\begin{eqnarray} f(u) \end{eqnarray}$ dessen Darstellung in krummlinigen Koordinaten, so dass $\begin{eqnarray} f=\tilde f\circ\Phi \end{eqnarray}$ . Was bedeutet $\begin{eqnarray} \partial_k f(u) \end{eqnarray}$ nun für $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ ? Das ist die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ in Richtung des k-ten Tangentialvektors am Punkt $\begin{eqnarray} x=\Phi(u) \end{eqnarray}$ . Der k-te Tangentialvektor an der Stelle $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ist nämlich definiert als $\begin{eqnarray} \mathbf g_k(u) := \mathrm d_u \Phi(\mathbf e_k). \end{eqnarray}$ Gemäß Kettenregel gilt nun $\begin{eqnarray} \mathrm d_x\tilde f(\mathbf g_k) = (\mathrm d_x(f\circ\Phi^{-1})\circ\mathrm d_u\Phi)(\mathbf e_k) = \mathrm d_u(f\circ\Phi^{-1}\circ\Phi)(\mathbf e_k) = \mathrm d_u f(\mathbf e_k) = \partial_k f(u). \end{eqnarray}$ Nun wollen wir die Beziehung zwischen partieller Ableitung in kartesischen und krummlinigen Koordinaten wissen. Da rechnet man wieder mit der Kettenregel $\begin{eqnarray} \partial_k \tilde f(x) = \mathrm d_x \tilde f(\mathbf e_k) = \mathrm d_x (f\circ\Phi^{-1})(\mathbf e_k) = (\mathrm d_u f\circ \mathrm d_x \Phi^{-1})(\mathbf e_k) = \mathrm d_u f(\partial_k\Phi^{-1}(x)). \end{eqnarray}$ Wir gewinnen die Beziehung $\begin{eqnarray} \partial_k \tilde f(x) = \mathrm d_u f(\partial_k\Phi^{-1}(x)). \end{eqnarray}$ In klassischer Notation lautet diese $\begin{eqnarray} \frac{\partial \tilde f}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{\partial(\Phi^{-1})_i}{\partial x_k}. \end{eqnarray}$

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