Schnittgerade von zwei Ebenen

09.11.2020, 15:45

Mathman91

Schnittgerade von zwei Ebenen

Hallo,

ich versuche die Schnittgerade von zwei Ebenen zu berechnen:

Schnittwinkel habe ich bereits berechnet, aber bei der Schnittgeraden komme ich nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} 3x+y+2z=13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+3z=5 \end{eqnarray*}$

Nachdem auflösen mit dem Eliminationsverfahren, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} x = 5,815 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = -0,025 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = -2,21 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in: $\begin{eqnarray*} 3x+y+2z=13 \end{eqnarray*}$

Lösung:

13 = 13 also E1 = E2

Wie komme ich jetzt auf die Schnittgerade?

SG

09.11.2020, 15:54

Helferlein

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Wie hast Du es geschafft bei zwei Gleichungen mit drei Unbekannten auf eine eindeutige Lösung zu kommen?

Da die Ebenen ziemlich offensichtlich nicht identisch sind (Ansonsten wäre die eine Gleichung ein Vielfaches der anderen) , wirst Du Dich beim Gaußen vertan haben.

09.11.2020, 21:55

mYthos

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Vertan nur insoferne, als dass diese durchaus richtige (partikuläre) Lösung nicht die einzige ist. Der damit bezeichnete Punkt liegt nämlich auf der Schnittgeraden.
Hast du vielleicht jetzt eine Idee, wie du zu der Schnittgeraden kommst?

mY+

09.11.2020, 22:08

HAL 9000

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Ehrlich - wenn ich mir schon nur ein Lösungstripel ausgesucht hätte, dann das einzige positiv ganzzahlige (1,8,1). Big Laugh

10.11.2020, 07:21

Mathman91

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Wie muss ich das dann machen?
Ihr verwirrt micht.

10.11.2020, 08:40

Mathman91

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Hier noch die Angabe vom Beispiel:

$\begin{eqnarray*} E1: \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x & -2 \\ y & -5 \\ z & -6 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E2: \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x & -1 \\ y & -5 \\ z & -1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

10.11.2020, 10:04

transfer

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Zitat:

Wie muss ich das dann machen?

Du musst das LGS halt richtig lösen.
Da du keinen Rechenweg gepostet hast, kann man deine Fehler nicht sehen.

Da das LGS sowieso unendlich viele (von einem Parameter abhängige) Lösungen hat, die ja dann die Schnittgerade bilden, kannst du dir auch einfach zwei Punkte rauspicken und daraus die Geradengleichung aufstellen.
Wähle z.B. z=1 bzw. z=3 und bestimme damit ganz ohne Gauss nur durch Einsetzen die beiden erwähnten Geradenpunkte.

Übrigens, bei der Ebene E1 ist bei dir die Zahl auf der rechten Seite falsch.

10.11.2020, 10:40

mYthos

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Zitat:

Original von Mathman91
... Ihr verwirrt micht.

.. nicht!

$\begin{eqnarray*} 3x+y+2z=23 \end{eqnarray*}$ (6 + 5 + 12)!
$\begin{eqnarray*} 2x+3z=5 \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------
2 Punkte ermitteln und daraus die Gerade erstellen, ist immer eine Möglichkeit.

Alternativ:
Setze z.B. $\begin{eqnarray*} z = t \end{eqnarray*}$ , als 3. Gleichung, t ist ein Parameter:

$\begin{eqnarray*} 3x+y+2z=23 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+3z=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = t \end{eqnarray*}$

Dann dieses System mit den 3 Gleichungen auflösen.
Das Ergebnis ist bereits eine Parameterdarstellung der Geraden.

2. Alternative:
Bestimme den Normalvektor der Normalvektoren der beiden Ebenen und einen gemeinsamen Punkt.
Der zuletzt berechnete Normalvektor ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden.

mY+

10.11.2020, 15:12

Mathman91

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Ich wollte "mich" schreiben, egal.

Stimmt, drei unbekannte verlangen drei Gleichungen.
Hätte mir selber auffallen können.

Die Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2,5 \\ 15,5 \\ 0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -1,5 \\ 2,5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt's so?

Schöne Grüße

10.11.2020, 15:30

Mathman91

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Und für:

$\begin{eqnarray*} E1: 3x-y-2z-5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E2: x-y-4z-3=0 \end{eqnarray*}$

habe ich herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte auch passen.

10.11.2020, 16:31

mYthos

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Beim ersten System stimmt es, bei zweiten nicht! (Vorzeichen bei den y ?)

mY+

12.11.2020, 16:19

Mathman91

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Habe es jetzt, danke.

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