Relationen über eine Menge

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3rdtimesacharm Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen über eine Menge
Hallo,

wir behandeln gerade Relationen (1. Semester Informatik).

Ich verstehe das Thema so überhaupt nicht und mir erschließt sich auch nicht, was ich damit machen kann/soll.

Vielleicht könnte mir jemand helfen, wie ich diese Aufgaben angehen muss?
Zitat:
Sei eine Relation über der Menge {1, 2, 3}.

a) Prüfen Sie, ob R reflexiv, symmetrisch und/oder transitiv ist.
b) Schließen Sie R symmetrisch und transitiv ab.
c) Wann ist R eine Äquivalenzrelation?



Ich kenne folgende Definitionen:
reflexiv:
symmetrisch:
transitiv:
Äquivalenzrelation: alle obigen müssen zutreffen


Für a) kann ich eigentlich nur aus der Aufgabenstellung b) schließen, dass sie auf jeden Fall nicht symmetrisch und nicht transitiv ist.
Ansonsten verstehe ich gar nicht, was ich mit xRx machen soll? Müsste da nicht ein {1,1} in der Relation stehen, damit xRx ist?

Bei der b) würde ich sagen, dass ich R mit Paaren erweitern soll, damit Symmetrie und Transitivität gegeben sind.

Und bei der c) würde ich sagen, dass, je nachdem, ob ich in a) schon zeigen konnte, dass R reflexiv ist, dass R dann eine Äquivalenzrelation ist, wenn ich den Aufgabenteil b) dazu nutzen kann.

Das ist alles, was ich bisher habe Erstaunt1
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hier kommt schon vieles zusammen. Fangen wir also langsam an.
Deine Definitionen sind korrekt.

Zitat:
Müsste da nicht ein {1,1} in der Relation stehen, damit xRx ist?

Damit hast du dir diesen Punkt schon beantwortet.
Wie sehen nun die anderen beiden Eigenschaften aus, ungeachtet von (b) ?

LG
Maren
3rdtimesacharm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaPalui
Hallo,

hier kommt schon vieles zusammen. Fangen wir also langsam an.
Deine Definitionen sind korrekt.

Zitat:
Müsste da nicht ein {1,1} in der Relation stehen, damit xRx ist?

Damit hast du dir diesen Punkt schon beantwortet.
Wie sehen nun die anderen beiden Eigenschaften aus, ungeachtet von (b) ?

LG
Maren


Oh, das war es schon für die Reflexivität? geschockt

Für die Symmetrie:
nicht symmetrisch, denn es müsste gelten: (1, 2) und (2, 1) sind beide in der Relation enthalten. Dies ist nicht so, daher auch nicht symmetrisch.

Für die Transitivität:
nicht transitiv, denn aus (1,2) und (3,2) folgt (1,2) und nicht (1,3)


Für die Aufgabe b)
R := {(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)} (hinzugefügte in fett hervorgehoben)

Für Aufgabenteil c)
R ist eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Um aus R eine ÄR zu machen, müsste man zusätzlich zu den in b) hinzugefügten Paaren ein weiteres Paar (1,1) hinzufügen, damit die Reflexivität xRx gegeben ist.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 3rdtimesacharm
Zitat:
Original von MaPalui
Hallo,

hier kommt schon vieles zusammen. Fangen wir also langsam an.
Deine Definitionen sind korrekt.

Zitat:
Müsste da nicht ein {1,1} in der Relation stehen, damit xRx ist?

Damit hast du dir diesen Punkt schon beantwortet.
Wie sehen nun die anderen beiden Eigenschaften aus, ungeachtet von (b) ?

LG
Maren


Oh, das war es schon für die Reflexivität? geschockt

Für die Symmetrie:
nicht symmetrisch, denn es müsste gelten: (1, 2) und (2, 1) sind beide in der Relation enthalten. Dies ist nicht so, daher auch nicht symmetrisch.


Zitat:

Für die Transitivität:
nicht transitiv, denn aus (1,2) und (3,2) folgt (1,2) und nicht (1,3)


Holprige Formulierung, aber korrekt.

Zitat:


Für die Aufgabe b)
R := {(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)} (hinzugefügte in fett hervorgehoben)



Nun gilt jedenfalls 1R2 und 2R3, richtig?
3rdtimesacharm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zitat:


Für die Aufgabe b)
R := {(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)} (hinzugefügte in fett hervorgehoben)


Nun gilt jedenfalls 1R2 und 2R3, richtig?


Ich dachte, ich hätte damit die Symmetrie und die Transitivität abgedeckt.
Also für die Symmetrie: (1,2) und (2,1) und
für die Transitivität: (1,2) und (2,3) => OH - ich merke es gerade. Es fehlt noch (1,3), richtig?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Mindestens. Gehe doch mal alle einzelnen Relationen durch...
 
 
3rdtimesacharm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaPalui
Mindestens. Gehe doch mal alle einzelnen Relationen durch...


Mal wieder zu vorschnell gewesen...

R:={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,1)}

Passt es jetzt?


Ich hätte nochmal eine Frage zur Transitivität.

R ist ganz sicher nicht transitiv?
Wenn ja, könntest du mir helfen, meine etwas holprige Begründung formal korrekt aufzuschreiben?
Ich wurde in meiner Übungsgruppe nämlich leider überstimmt und jetzt will meine Gruppe abgeben, dass R eben doch transitiv ist. Die Begründung ist zwar die selbe, aber die haben irgendwas angefangen von Lösungsmenge und - im Grunde hab ich es nicht verstanden, vor allem, weil im Teil b) genau die gleichen Paare in R genannt wurden, damit R symmetrisch und transitiv abgeschlossen ist verwirrt
Ich kann mal schauen, dass ich die Begründung bekomme und dann auch hier rein stelle.

Ich tue mich auch noch mit der Schreibweise schwer. Vielleicht könntest du mir da auch noch helfen, Licht ins Dunkel zu bringen?

Wenn man schreibt {1, 2, 3} dachte ich bisher, dass x=1, y=2 und z=3 gilt. Aber bei mehr als drei Elementen geht das ja dann gar nicht mehr verwirrt
Und die Paare in der Relation R={(1,2),(3,2)} dachte ich, dass die diesem Muster entsprechen: {(x,y),(z,y)}.
Die anderen aus meiner Gruppen haben das aber so aufgefasst: (1,2)=(x,y) und (3,2)=(y,z).

Wie geht man bei der Benennung der Elemente denn nun genau vor?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) Wieso soll die Relation nicht transitiv sein? Zur Widerlegung der Transitivität müsste man überhaupt erstmal drei Elemente mit finden, welche es hier aber nicht gibt. unglücklich
3rdtimesacharm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zu a) Wieso soll die Relation nicht transitiv sein? Zur Widerlegung der Transitivität müsste man überhaupt erstmal drei Elemente mit finden, welche es hier aber nicht gibt. unglücklich


Ja, also der Gedankengang war, da es ja nicht genügend Elemente gibt um überhaupt irgendetwas bzgl. Transitivität zu belegen oder zu widerlegen, ist sie einfach transitiv. Erstaunt1
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Definition genauer beachten: transitiv:
Das heißt: für alle x,y,z in A gilt wenn (x,y) in R und (y,z) in R, dann (x,z) in R.
Die Relation R ist nicht transitiv, genau dann, wenn es x,y,z in A gibt, so dass diese Eigenschaft nicht gilt. Also ist R nicht transitiv, wenn (x,y) und (y,z) in R und (x,z) nicht in R.
3rdtimesacharm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Du musst die Definition genauer beachten: transitiv:
Das heißt: für alle x,y,z in A gilt wenn (x,y) in R und (y,z) in R, (x,z) in R.
Die Relation R ist nicht transitiv, genau dann, wenn es x,y,z in A gibt, so dass diese Eigenschaft nicht gilt. Also ist R nicht transitiv, wenn (x,y) und (y,z) in R und (x,z) nicht in R.


Ist das nicht genau das, was ich versucht habe, "etwas holprig" (Zitat MaPalui) auszudrücken? Also ich dachte schon, dass ICH Recht habe, aber meine Gruppenmitglieder nicht, die es aber einfach nicht einsehen wollen.


Ich habe das so aufgeschrieben:
R ist transitiv {1,2,3} gilt: , also wenn 1R2 2R3 => 1R3 gilt.
Da aber weder (2,3) noch (1,3) teil der Relation sind, ist R nicht transitiv.

Glauben sie mir nicht. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich auch nicht. Hier ein weiteres Beispiel:

ist
a) nicht reflexiv, weil
b) symmetrisch, weil mit auch in liegt, also alle
c) transitiv, weil mit und auch in liegt, also alle

Bei a) muss man alle Elemente der Menge finden, bei b) und c) muss das Kriterium für alle Paare aus gelten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 3rdtimesacharm
Also ich dachte schon, dass ICH Recht habe, aber meine Gruppenmitglieder nicht, die es aber einfach nicht einsehen wollen.

Schlaue Leute, deine Gruppenmitglieder.

Zitat:
Original von Elvis
Die Relation R ist nicht transitiv, genau dann, wenn es x,y,z in A gibt, so dass diese Eigenschaft nicht gilt. Also ist R nicht transitiv, wenn (x,y) und (y,z) in R und (x,z) nicht in R.

So ist es.


@3rdtimesacharm

Wenn du so auf der Nicht-Transivität beharrst, dann benenne doch mal konkret x,y,z aus A, die diese von Elvis genannte Eigenschaft "(x,y) und (y,z) in R und (x,z) nicht in R" aufweisen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir nichts draus, wir haben alle mal klein angefangen. Im Oktober 1973 habe ich auch mehr als 10 Minuten gebraucht um zu verstehen, was eine Aequivalenzrelation ist und um den Satz und Beweis zu begreifen, wie Aequivalenzrelationen und Klasseneinteilungen aufeinander bezogen sind. Wer Mathematik studiert muss erst einmal die Sprache lernen, danach kommt irgendwann das Verständnis. (Das hat ein Tutor damals zur Einführung gesagt, und er hat den Nagel auf den Kopf getroffen.)
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