Relationen über eine Menge |
10.11.2020, 10:26 | 3rdtimesacharm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Relationen über eine Menge wir behandeln gerade Relationen (1. Semester Informatik). Ich verstehe das Thema so überhaupt nicht und mir erschließt sich auch nicht, was ich damit machen kann/soll. Vielleicht könnte mir jemand helfen, wie ich diese Aufgaben angehen muss?
Ich kenne folgende Definitionen: reflexiv: symmetrisch: transitiv: Äquivalenzrelation: alle obigen müssen zutreffen Für a) kann ich eigentlich nur aus der Aufgabenstellung b) schließen, dass sie auf jeden Fall nicht symmetrisch und nicht transitiv ist. Ansonsten verstehe ich gar nicht, was ich mit xRx machen soll? Müsste da nicht ein {1,1} in der Relation stehen, damit xRx ist? Bei der b) würde ich sagen, dass ich R mit Paaren erweitern soll, damit Symmetrie und Transitivität gegeben sind. Und bei der c) würde ich sagen, dass, je nachdem, ob ich in a) schon zeigen konnte, dass R reflexiv ist, dass R dann eine Äquivalenzrelation ist, wenn ich den Aufgabenteil b) dazu nutzen kann. Das ist alles, was ich bisher habe |
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10.11.2020, 10:33 | MaPalui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo, hier kommt schon vieles zusammen. Fangen wir also langsam an. Deine Definitionen sind korrekt.
Damit hast du dir diesen Punkt schon beantwortet. Wie sehen nun die anderen beiden Eigenschaften aus, ungeachtet von (b) ? LG Maren |
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10.11.2020, 11:30 | 3rdtimesacharm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Oh, das war es schon für die Reflexivität? Für die Symmetrie: nicht symmetrisch, denn es müsste gelten: (1, 2) und (2, 1) sind beide in der Relation enthalten. Dies ist nicht so, daher auch nicht symmetrisch. Für die Transitivität: nicht transitiv, denn aus (1,2) und (3,2) folgt (1,2) und nicht (1,3) Für die Aufgabe b) R := {(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)} (hinzugefügte in fett hervorgehoben) Für Aufgabenteil c) R ist eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Um aus R eine ÄR zu machen, müsste man zusätzlich zu den in b) hinzugefügten Paaren ein weiteres Paar (1,1) hinzufügen, damit die Reflexivität xRx gegeben ist. |
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10.11.2020, 11:47 | MaPalui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Holprige Formulierung, aber korrekt.
Nun gilt jedenfalls 1R2 und 2R3, richtig? |
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10.11.2020, 11:56 | 3rdtimesacharm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich dachte, ich hätte damit die Symmetrie und die Transitivität abgedeckt. Also für die Symmetrie: (1,2) und (2,1) und für die Transitivität: (1,2) und (2,3) => OH - ich merke es gerade. Es fehlt noch (1,3), richtig? |
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10.11.2020, 15:50 | MaPalui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Mindestens. Gehe doch mal alle einzelnen Relationen durch... |
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11.11.2020, 08:28 | 3rdtimesacharm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Mal wieder zu vorschnell gewesen... R:={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,1)} Passt es jetzt? Ich hätte nochmal eine Frage zur Transitivität. R ist ganz sicher nicht transitiv? Wenn ja, könntest du mir helfen, meine etwas holprige Begründung formal korrekt aufzuschreiben? Ich wurde in meiner Übungsgruppe nämlich leider überstimmt und jetzt will meine Gruppe abgeben, dass R eben doch transitiv ist. Die Begründung ist zwar die selbe, aber die haben irgendwas angefangen von Lösungsmenge und - im Grunde hab ich es nicht verstanden, vor allem, weil im Teil b) genau die gleichen Paare in R genannt wurden, damit R symmetrisch und transitiv abgeschlossen ist Ich kann mal schauen, dass ich die Begründung bekomme und dann auch hier rein stelle. Ich tue mich auch noch mit der Schreibweise schwer. Vielleicht könntest du mir da auch noch helfen, Licht ins Dunkel zu bringen? Wenn man schreibt {1, 2, 3} dachte ich bisher, dass x=1, y=2 und z=3 gilt. Aber bei mehr als drei Elementen geht das ja dann gar nicht mehr Und die Paare in der Relation R={(1,2),(3,2)} dachte ich, dass die diesem Muster entsprechen: {(x,y),(z,y)}. Die anderen aus meiner Gruppen haben das aber so aufgefasst: (1,2)=(x,y) und (3,2)=(y,z). Wie geht man bei der Benennung der Elemente denn nun genau vor? |
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11.11.2020, 08:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Zu a) Wieso soll die Relation nicht transitiv sein? Zur Widerlegung der Transitivität müsste man überhaupt erstmal drei Elemente mit finden, welche es hier aber nicht gibt. |
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12.11.2020, 17:21 | 3rdtimesacharm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, also der Gedankengang war, da es ja nicht genügend Elemente gibt um überhaupt irgendetwas bzgl. Transitivität zu belegen oder zu widerlegen, ist sie einfach transitiv. |
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12.11.2020, 17:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du musst die Definition genauer beachten: transitiv: Das heißt: für alle x,y,z in A gilt wenn (x,y) in R und (y,z) in R, dann (x,z) in R. Die Relation R ist nicht transitiv, genau dann, wenn es x,y,z in A gibt, so dass diese Eigenschaft nicht gilt. Also ist R nicht transitiv, wenn (x,y) und (y,z) in R und (x,z) nicht in R. |
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12.11.2020, 18:27 | 3rdtimesacharm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ist das nicht genau das, was ich versucht habe, "etwas holprig" (Zitat MaPalui) auszudrücken? Also ich dachte schon, dass ICH Recht habe, aber meine Gruppenmitglieder nicht, die es aber einfach nicht einsehen wollen. Ich habe das so aufgeschrieben: R ist transitiv {1,2,3} gilt: , also wenn 1R2 2R3 => 1R3 gilt. Da aber weder (2,3) noch (1,3) teil der Relation sind, ist R nicht transitiv. Glauben sie mir nicht. |
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12.11.2020, 19:31 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das glaube ich auch nicht. Hier ein weiteres Beispiel: ist a) nicht reflexiv, weil b) symmetrisch, weil mit auch in liegt, also alle c) transitiv, weil mit und auch in liegt, also alle Bei a) muss man alle Elemente der Menge finden, bei b) und c) muss das Kriterium für alle Paare aus gelten. |
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12.11.2020, 21:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Schlaue Leute, deine Gruppenmitglieder.
So ist es. @3rdtimesacharm Wenn du so auf der Nicht-Transivität beharrst, dann benenne doch mal konkret x,y,z aus A, die diese von Elvis genannte Eigenschaft "(x,y) und (y,z) in R und (x,z) nicht in R" aufweisen! |
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12.11.2020, 21:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Mach dir nichts draus, wir haben alle mal klein angefangen. Im Oktober 1973 habe ich auch mehr als 10 Minuten gebraucht um zu verstehen, was eine Aequivalenzrelation ist und um den Satz und Beweis zu begreifen, wie Aequivalenzrelationen und Klasseneinteilungen aufeinander bezogen sind. Wer Mathematik studiert muss erst einmal die Sprache lernen, danach kommt irgendwann das Verständnis. (Das hat ein Tutor damals zur Einführung gesagt, und er hat den Nagel auf den Kopf getroffen.) |
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