Gruppen-Eigenschaften

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GruppenSindToll Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen-Eigenschaften
Meine Frage:
Guten Tag, habe eine Frage bezüglich der Eigenschaft des neutralen Elements einer bestimmten Gruppe.
Es sei , .
Für sei a*b:= a+b, falls a+b n und a+b-n, falls a+b > n
Ich soll zeigen, dass (H,*) eine Grupe ist.

Meine Ideen:
Drei Eigenschaften sind zu zeigen:
i) Assoziativität: Hab ich gezeigt, gilt. (Soll ich eine Fallunterscheidung machen, hab es jetzt einfach in einem gemacht?)
ii) Neutrales Element: Hier kommt meine Frage. Ich soll ein Element aus H finden, sodass gilt a*e = e*a = a. Nun da bietet sich ja das Element e = 0 an, denn es gilt dann somit:
a*e = a*0 = a+0 = a für a+b n
a*e = a*0 = a+0-b = a-n für a+b > n
Jedoch ist e = 0 kein Element aus H, da H ab 1 startet.
Definiert (H,*) dann keine Gruppe, also ist die Aufgabe falsch, oder übersehe ich etwas?
Viele Dank! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du übersiehst, dass a*n=a ist.
Bei den anderen Eigenschaften musst du sehr sorgfältig vorgehen. Assoziativ ist nicht so einfach, wie du denkst.
GruppenSindToll Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Ihre Hinweise!

Zum neutralen Element: Wähle e:=n mit n H
a*n= a+n, falls a+n n und a+n-n, falls a+n > n
=> a*n = a, da a+n nie n und a, da a+n > n und a+n-n = a
=> a+n = a

Zur Assoziativität:
1. Fall a+(b+c) n
a*(b*c) = a*(b+c) = a+(b+c), falls a+(b+c) n und a+(b+c)-n, falls a+(b+c) > n = ... = (a*b)*c, wobei ich Assoziativität von (IN,+) ausgenutzt habe

2. Fall a+(b+c) > n
a*(b*c) = a*(b+c-n), falls a+(b+c-n) n und a+(b+c-n)-n, falls a+(b+c-n) > n = ... = (a*b)*c, wobei ich Assoziativität von (IN,+) ausgenutzt h

Daraus folgt insgesamt, dass a*(b*c) = (a*b)*c für a,b,c aus H
Stimmt das so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte ein konkretes Besipiel. n=7, a=b=c=1, a=b=c=3, a=b=c=5. Das sind schon 3 wesentlich verschiedene Fälle. Mit 2 Fällen, die du nicht wirklich ausführlich behandelst, wirst du dem Problem nicht gerecht. Dabei fällt mir auf, dass du auch noch die Abgeschlossenheit der Operation * beweisen musst.
GruppenSindToll Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abgeschlossenheit haben wir in der Definition der Gruppe garnicht drin.
Mein Prof hat eine Gruppe definiert mit (salopp gesagt) i) Assoziativität, ii) Existenz des neutralen Elements, iii) Existenz des inversen Elements.
Ich probiere mich aber mal an der Abgl.
Es muss gelten a*b H: Seinen a,b aus H:
a*b= a+b, falls a+b n und a+b-n, falls a+b > n
1. a+b: Es gilt a,b H => Summe von Elementen aus H ist ein Element von H => (a+b) H
2. a+b-n: Da a+b > n gilt: 0 < a+b-n < a+b und (a+b) H => (a+b-n) H

Zur Assoziativität: Ich bin mir nicht sicher was Sie mit Ihrer Aussage meinen. Muss ich dementsprechend n-Fälle prüfen? (Das ginge ja nicht)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

De facto handelt es sich hier bei * um die Restklassenaddition modulo , wobei man die Elemente von als Repräsentanten der Restklassen auffassen kann. Genauer gesagt sind es nicht wie sonst oft üblich die Repräsentanten , sondern 1:1 zugeordnet .
 
 
GruppenSindToll Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Restklassenaddition (bei einem Restklassenrin?) habe ich schon etwas gehört, allerdings haben wir den noch nicht eingeführt. Bin in der ersten Vl-Woche.
Deswegen verstehe ich ihren Ansatz noch nicht so genau und kann auch nicht mit der Restklassenaddition argumentieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn tatsächlich Vorkenntnisse zu Restklassengruppen bzw. -ringen vorhanden sind, dann wäre das in der Tat ein passender (weil bequemer) Ansatz. So aber ist es nicht mehr als eine Anmerkung - für später... Augenzwinkern
GruppenSindToll Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön! smile
Aber ich denke wenn der Prof solche noch nicht eingeführt hat, dann verwende ich meine Vorkenntnisse auch besser nicht. smile
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