Zeige Linearkombination

11.11.2020, 15:38	fhannes	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Linearkombination Hey Auch wenn ich ggf. wieder in den falschen Forumsbereich schreibe (Sorry an den Mod) werde ich es hier nochmal versuchen Ich komme wieder bei einer Aufgabe nicht weiter. Man zeige, dass sich der Vektor $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \in R^3 \end{eqnarray}$ auf genau eine Art als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray} e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,e_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , e_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ schreiben lässt. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} v=a\cdot e_3 + b\cdot e_3 + c\cdot e_3<br /> somit<br /> \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=a\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ b\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> Daraus folgt dann:<br /> <br /> v_1 = a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1<br /> v_2 = a\cdot 0+b\cdot 1+c\cdot 1<br /> v_3 = a\cdot 0+b\cdot 0+c\cdot 1<br /> <br /> Dadurch ergibt sich:<br /> <br /> v_1=a+b+c<br /> v_2=b+c<br /> v_3=c \end{eqnarray}$ Ich denke bis hierhin sollte es richtig sein, doch wie mache ich dann weiter, mir fehlt ein Ansatz. Hoffe ihr könnt mir helfen :-)
11.11.2020, 15:56	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Linearkombination Hallo, Hier ist imho einfach zu zeigen, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind und somit eine Basis von R³ bilden. Daraus folgt dann automatisch, dass jede Darstellung eines beliebigen Vektors als LK der drei Basisvektoren eindeutig ist. Viele Grüße, Nils
11.11.2020, 16:03	fhannes	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht ganz, also...wie schreibe ich das dann, bzw. beweise es? Es steht nicht zu der Linearen Abhängigkeit in unseren Vorlesungsfolien und auf die Aufgabe gibt es immerhin 10 Punkte ^^
11.11.2020, 16:27	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wie sich diese Aufgabe in eure Vorlesung eingliedert, weiß ich natürlich nicht. Ich habe nur kurz beschrieben wie ich es angehen würde. Dein Vorgehen ist aber natürlich auch richtig. Du musst bei deinem Ansatz jetzt einfach nur die Koeffizienten a, b, und c bestimmen bzw. zeigen, dass diese eindeutig sind. Den Koeffizienten c hast du ja bereits eindeutig bestimmt. Wenn du das jetzt in deine vorletzte Gleichung einsetzt, kannst du b bestimmen und so weiter. Viele Grüße, Nils

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