Bedingung mit Zufallsvariable

11.11.2020, 16:30

Socha99

Bedingung mit Zufallsvariable

Hallo,
ich betrachte 2 Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ . die nur Werte in den natürlichen Zahlen annehmen. Gilt dann:

$\begin{eqnarray*} P(X=j+Y|Y>0)=P(X=j) \end{eqnarray*}$ , wenn bei X von einer gedächtnislosen Verteiltung ausgeht mit j>0?

11.11.2020, 16:47

HAL 9000

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Zunächst mal dies: Gedächtnislosigkeit einer auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ diskreten Verteilung bedeutet automatisch Geometrische Verteilung für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Aber warum sollte diese deine Gleichung gelten? Selbst wenn man zusätzlich Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ annimmt, so zeigt das fast völlige Fehlen irgendwelcher Bedingungen an $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ schon Wirkung:

Ein Gegenbeispiel sollte spielend einfach zu finden sein. Bereits mit der konstanten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=1 \end{eqnarray*}$ geht das gegen den Baum...

11.11.2020, 17:33

Socha99

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Ich beziehe mich auf die geometrische Verteilung. Du hast Recht.

Bei geometrischer Verteilung hat man: $\begin{eqnarray*} P(X=j+2|X>2)=P(X=2) \end{eqnarray*}$
Vllt würde es so gehen:

$\begin{eqnarray*} P(X=j+Y| X>Y)=P(X=j) \end{eqnarray*}$ .
Was meinst du?

11.11.2020, 19:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Socha99
$\begin{eqnarray*} P(X=j+Y| X>Y)=P(X=j) \end{eqnarray*}$

Das wiederum stimmt für das gedächtnislose $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zumindest dann, wenn $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind - ist ja auch eine VÖLLIG ANDERE Aussage als oben.

11.11.2020, 19:27

Socha99

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Ich habe mich vorhin vertan. Tut mir leid.
Warum ist die Unabhängigkeit hier entscheidend?

11.11.2020, 19:37

HAL 9000

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Na betrachte doch z.B. mal die hochgradig von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abhängige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=X-1 \end{eqnarray*}$ : Dann ist $\begin{eqnarray*} X>Y \end{eqnarray*}$ immer erfüllt, und wir bekommen

$\begin{eqnarray*} P(X=j+Y\mid X>Y) = P(X=j+X-1) = P(j=1) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\;j=1\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Hat gewiss nichts mehr mit der ursprünglichen geometrischen Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X=j)=p(1-p)^{j-1} \end{eqnarray*}$ zu tun, die du da ja raushaben wolltest.

11.11.2020, 19:47

Socha99

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Danke für dein Beispiel. Die Unabhängigkeit hätte ich gar nicht bedacht Freude

.

Wenn X und Y unabhängig sind, ist dann auch X+c und Y unabhängig für eine Konstante c?

Eigentlich müsste das offensichtlich richtig sein?

11.11.2020, 20:01

HAL 9000

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Ja: Sind $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig, dann folgt daraus auch die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} f(X),g(Y) \end{eqnarray*}$ , wobei von den Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ lediglich Messbarkeit gefordert wird.

11.11.2020, 20:03

Socha99

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Perfekt. Ich danke dir. Schönen Abend noch smile

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