Gleichseitiges Dreieck bei Vektoren berechnen

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Lulalel Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichseitiges Dreieck bei Vektoren berechnen
Meine Frage:
Hallo, ich habe 2 eckpunkte eines dreicks
Gegeben (x1/x2/x3) (a1/b2/b3). Wie kann ich nun einen dritten Punkt berechnen sodass ein gleichseitiges dreieck entsteht?

Meine Ideen:
Meine Ideen sind den punkt so zu berechnen dass die Beträge von ab und ac gleich sind. Es muss doch bestimmt eine ändere Möglichkeit geben als die Koordinaten zu raten oder?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit: Die Eckpunkte und haben Verbindungsvektor . Diesen um gegen den Uhrzeigersinn drehen mit der Rotationsmatrix



Der dritte Punkt ist demnach

bugsnax Auf diesen Beitrag antworten »

Da du nur allgemein fragst, hier auch nur eine allgemeine Antwort:

1) Bestimme eine Mittelsenkrechte m bzgl. der beiden gegebenen Eckpunkte A und B

2) Schreibe die Gerade m als Punkt bzw. Punkteschar und löse die durch enstehende Gleichung

3) Setze einen dadurch erhaltenen Wert für t in ein
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, mit drei Koordinaten. Ja, da benötigt man dann noch eine Orthonormalbasis für die Ebene. Die lässt sich mit dem Gram-Schmidt-Verfahren beschaffen; die Vektoren müssen dann bezüglich dieser dargestellt werden. Ok, ich überleg mir was einfacheres. Willst du die Ebene in eine bestimmte Richtung haben, oder ist das belanglos?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir was mit ein wenig höherer Mathematik überlegt. Wer Lust und Zeit hat, kann das ja mal durchrechnen. Also es gibt so eine Operation die einem Vektor einen sogenannten Multivektor zuordnet welcher den zu diesem Vektor normalen Hyperraum kodiert; in unserem Fall ist das ein Bivektor für die Normalebene. Diese Operation nennt sich Hodge-Stern-Operator.

Ist nun dieser Bivektor, dann sind alle Vektoren in dieser Ebene bezüglich linear abhängig, d.h. das äußere Produkt ist null. Nun nimmt man sich eine Lösung dieser Gleichung und normiert sie zu


Sei außerdem . Gemäß Pythagoras ist dann , wobei die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist.

Schließlich muss man lediglich vom Mittelpunkt um wegschieben. Der dritte Punkt ist somit

Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Erzählt mir jetzt nicht, dass es auch einfacher geht. Natürlich kann man auch einfach eine Lösung von nehmen.
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hodge-Stern bringt





Nun gilt







Seht ihr, folglich ist

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