1/Wurzel(n) Gesetz

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Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »
1/Wurzel(n) Gesetz
Meine Frage:
Wir haben in der Schule ein Experiment durchgeführt mit dem Riemer-Würfel. Also die Flächen des Würfels sind unterschiedlich groß. (quaderförmiger Würfel) Wir haben in Gruppen gewürfelt und anhand der Würfe die relative Häufigkeit bestimmt (1.000 Würfe). Die Frage ist: Was sagt das 1/Wurzel(n)-Gesetz zur Genauigkeit der gefundenen Wahrscheinlichkeiten? Ich verstehe nicht so genau, worauf mein Lehrer hier hinauswill. Kann mir jemand einen Denkanstoß geben.


Meine Ideen:
Das Gesetz gibt mir ja quasi ein Intervall an, sodass ich mit einer bestimmten Gewissheit sagen kann, ob diese Wahrscheinlichkeit nun da drin liegt. Bedeutet es nun, dass je öfter ich würfle das Intervall umso kleiner wird, indem meine Wahrscheinlichkeit liegt?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1/Wurzel(n) Gesetz
Ich kenne Euren Würfel nicht, aber sagen wir mal, es gibt da vier große Flächen, die jeweils 20% der Gesamtfläche betragen und zwei kleine mit jeweils 10%. Dann sollte eine bestimmte große Fläche bei 1000 Würfen 200mal kommen, also mit einer relativen Häufigkeit von 0,2.

Exakt 200 werden es typischerweise nicht sein, sondern es wird eine Spannweite zwischen meinetwegen 192 und 204 sein, relativ ausgedrückt zwischen 0,192 und 0,204: also eine Spanne von 0,012.

Nun sagt das -Gesetz, dass die Spanne bei mehr Würfen kleiner wird, bei viermal soviel Würfen halbiert sie sich, bei neunmal soviel Würfen drittelt sie sich und so weiter. Bei 4000 Würfen sollte man also eine Spanne von 0,006 erwarten.

Umgekehrt könntest Du die ersten 250 Würfe betrachten, da sollte die Spanne doppelt so hoch sein, also etwa 0,024.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Grundlage dieses sog. -Gesetzes (welches ich in meiner Ausbildung nie in dieser Bezeichnung kennengelernt habe, sondern allenfalls vom Inhalt her als ein Korollar wichtigerer Sätze) ist die Eigenschaft, dass sich die Varianz einer Summe unabhängiger (!) Zufallsgrößen als Summe der Einzelvarianzen ergibt:

D.h., summiert man unabhängig identische verteilte Zufallsgrößen jeweils der Varianz , so hat die Summe die Varianz , d.h. Standardabweichung . Bildet man daraus den Mittelwert , so hat der folglich die Standardabweichung .
Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch beiden sehr für die Antworten.

Könnte mir vielleicht jemand noch erklären, wie ich auf die Spanne 0,012 komme? (0,192 und 0,204)
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der Abstand: 0,204-0,192 = 0,012.
Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, danke. Und wie kommst du auf 0,204 bzw. 0,192?
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind die auf die Gesamtzahl 1000 bezogenen relativen Häufigkeiten von 204 und 192. Die wiederum hab ich mir als Beispiel ausgedacht, daher "meinetwegen". Du könntest die entsprechenden Zahlen aus Eurem Experiment einsetzen.
Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Wie dumm von mir.

Nochmal zum Verständnis. Also wir hatten einen Würfel mit 3 unterschiedlich großen Flächen.
die relative Häufigkeit für die beiden kleinsten Flächen: 8%, also 0,08
die relative Häufigkeit für die beiden mittleren Flächen: 14%, also 0,14
die relative Häufigkeit für die beiden größten Flächen: 78%, also 0,78

Wenn ich nun quasi dieses Gesetz anwende, sehe ich folgendes: (ich nehme hier jetzt mal, dass eine der beiden größten Flächen fällt, also relative Häufigkeit ist 36%, im Experiment gewürfelt, oder sollte ich dann hier lieber den Mittelwert nehmen, also 0,39?) Ich rechne jetzt mal mit der 36.

Für n=100 erhalte ich nach dem Gesetz die Grenzen 36,1 und 35,9
Für n=500 erhalte ich die Grenzen 36,044 und 35,956
Für n=1000 erhalte ich die Grenzen 36,03 und 35,97.

Das heißt die Spannweite wird immer kleiner und daher kann ich verlässlichere Aussagen zur Wahrscheinlichkeit treffen. Das bedeutet mit immer größer werdendem n kann ich bessere Aussagen machen über die gefundene Wahrscheinlichkeit?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Schlussfolgerung stimmt. Allerdings verstehe ich nicht, wie Du auf die Grenzen gekommen bist, oder hast jetzt Du Dir die ausgedacht?

Denn interessant wäre es, Eure eigenen Ergebnisse zu verwenden! Wenn Ihr also Zwischenstände Eurer 1000 Würfe festgehalten hättet, könnte man die relativen Häufigkeiten nach 100, 200, 300 Würfen usw. untersuchen. Nach 100 Würfen hat die eine Gruppe etwa 34mal diese Fläche gehabt, die andere 37mal. Also eine Spanne von 0,03. Dann bei 200 Würfen sind es vielleicht 69 zu 73, bezogen auf 200 also 0,02. Das könnte man dann mit dem Gesetz vergleichen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schüler13
Für n=100 erhalte ich nach dem Gesetz die Grenzen 36,1 und 35,9

Wie kommst du auf diese Werte? Und was sollen sie bedeuten? verwirrt

Bei angenommener Wkt für die eine große Fläche hat man bei insgesamt Würfen die binomialverteilte Anzahl von Würfen eben jener Fläche. Gemäß Zentralem Grenzwertsatz approximiert ergibt das ein zentrales Konfidenzintervall



für den unbekannten Parameter . Wenn wir mit deinen arbeiten sowie (also 90%-Konfidenzintervall), dann kommt man mit Normalverteilungsquantil auf ein Konfidenzintervall

.

Bei n=1000 wird das Intervall etwas enger: , natürlich unter der Annahme, dass wir auch bei diesen n=1000 immer noch Mittelwert haben.

Ich kann daher nicht im geringsten verstehen, wie du auf diese engen Werte um 36 kommen willst.
Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »

In unserem Experiment war es so, dass die 3 (also eine der größten Fläche) 360 Mal gefallen ist. Ergibt also eine relative Häufigkeit von 36% = 0,36.
Dann hatten wir im Unterricht, dass wir bei gegebener relativer Häufigkeit die unbekannte Wahrscheinlichkeit durch ein Intervall angeben können (hn +/- 1/Wurzel(n)). Und so bin ich dann auf die Grenzen gekommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schüler13
Dann hatten wir im Unterricht, dass wir bei gegebener relativer Häufigkeit die unbekannte Wahrscheinlichkeit durch ein Intervall angeben können (hn +/- 1/Wurzel(n)).

Das wäre bei n=100 dann



Da hast du bei der Toleranz mal so eben um den Faktor 100 danebengehauen...


EDIT: Hab gerade mal nachgerechnet, diese "Faustformel" aus dem Unterricht würde bei ungefähr einem 95%-Konfidenzintervall für das unbekannte entsprechen - natürlich OHNE die gerade aufgeklärte "Prozentverwechslung" zu begehen. Augenzwinkern
Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh.... Ich danke dir. Ich habe mich schon gewundert, warum das Intervall so klein ist.

Dann nochmal neu:
n= 100: 0,36+/- 0,1, also die Grenzen 0,37 und 0,35
n=200: 0,36 +/- 0,07, also die Grenzen 0,29 und 0,43
n= 500: 0,36 +/- 0,044, also die Grenzen 40,4 und 0,316
n= 1000: 0,36 +/- 0,032, also die Grenzen 39,2 und 32,8

Ist das so richtig? Die Grenzen sind jetzt auf einmal so unterschiedlich groß.
Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei n=100 meine ich natürlich 46 und 26
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gewöhnlich nennt man zuerst die untere und dann die obere Grenze - du machst es mal so, und dann wieder umgekehrt. Also mal ein bisschen Ordnung reingebracht (und den ersten Intervallfehler korrigiert):

Zitat:
n= 100: 0,36+/- 0,1, also die Grenzen 0,26 und 0,46
n=200: 0,36 +/- 0,07, also die Grenzen 0,29 und 0,43
n= 500: 0,36 +/- 0,044, also die Grenzen 0,316 und 0,404
n= 1000: 0,36 +/- 0,032, also die Grenzen 0,328 und 0,392

Dann sieht das doch gleich geordneter aus: Die unteren Intervallgrenzen steigen, die oberen fallen - gemeinsam zieht sich das Intervall immer enger zusammen.


P.S.: Um auf dein "35.9% bis 36.1%" zu kommen benötigt man bereits stolze n=1000000 Versuche. Augenzwinkern
Schüler13 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Danke für die Hinweise. Gibt es eigentlich einen Zusammenhang zwischen der Größe der Fläche und der Wahrscheinlichkeit?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich ja schon angedeutet: man könnte im einfachsten Fall davon ausgehen, dass das Verhältnis der einzelnen Fläche zur Gesamtfläche der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass der Quader darauf liegenbleibt.

Ob das stimmt, weiß ich nicht, das ist Physik. Da spielen wohl so Sachen wie Massenträgheitsmoment und Kippwinkel eine Rolle. Ich kann mir beim Würfeln mit einem Quader beispielsweise überhaupt nicht vorstellen, dass der überhaupt jemals auf einer der kleinen Flächen liegen- (bzw. eher stehen-)bleibt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
man könnte im einfachsten Fall davon ausgehen, dass das Verhältnis der einzelnen Fläche zur Gesamtfläche der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass der Quader darauf liegenbleibt.

Stimmt bei einem allgemeinen "konvexen Polyederwürfel" vermutlich nicht mit den physikalischen Realitäten überein. Ich würde sogar soweit gehen zu sagen, dass es Polyeder gibt, wo in dem Zusammenhang nicht mal die Monotonie "größere Fläche = größere Wahrscheinlichkeit" gilt:

Ich denke dabei an ein Prisma mit regelmäßigem -Eck als Grundfläche, wo die Prismenhöhe deutlich größer als der Grundflächenumkreisradius ist, wo aber andererseits so groß ist, dass jedes der Mantelrechtecke einen kleineren Flächeninhalt als die Grund- und Deckfläche hat. Da dieses Prisma fast immer auf den Mantel fallen dürfte, hat auch jede Mantelfläche eine größere Wahrscheinlichkeit als die Grundfläche.

Sind natürlich Spekulationen, die aus Anschauung/Erfahrung entstanden sind - käme auf eine experimentelle Überprüfung an. smile
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