Zwei Betragsungleichungen überprüfen

Neue Frage »

Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Betragsungleichungen überprüfen
Hallo zusammen,

ich habe zwei Beispiele zur Betragsungleichung gerechnet und wollte mich wiedermal bei euch informieren, ob das so Richtig ist. Ich habe leider keinen online Rechner gefunden der auch mit Betragsungleichungen zurecht kommt.

Beispiel 1:



1. Fall:





Keine Lösung.

2. Fall:



negative Division, somit Zeichen umdrehen.




Beispiel 2:



1. Fall:





PQ- Formel:

Keine Lösung.

2. Fall:





PQ-Formel:






Passen die Rechnungen?

Viele Grüße
G121120 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Betragsungleichungen überprüfen
1.
2.Fall:
-2x<= -2

2.
1.Fall:
Wenn du mit -1 multiplizierst dreht sich das Ungleichheitszeichen um,

x^2-x+4<0

2.Fall:
x^2+x+4<0
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Betragsungleichungen überprüfen
Wenn es nur um die Kontrolle geht, reicht schon eine Skizze
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mathman91

Auf den Fehler bei Beispiel 1 hat dich G121120 schon aufmerksam gemacht. Ich selbst würde die Fallunterscheidung anders durchführen:



Für solche , für die die rechte Seite negativ wird, kann die Ungleichung niemals lösbar sein, denn stets ist . Also treffe ich die Fallunterscheidung und .

1. Fall:
Wie besprochen, ist die Ungleichung unlösbar.

2. Fall:
In diesem Fall ist , so daß die Ungleichung



lautet, was offensichtlich unmöglich ist.

In der zweiten Aufgabe sind deine Schlüsse nicht korrekt. Zum Beispiel hast du im ersten Fall erhalten. Daß das falsch ist, darauf hat G121120 hingewiesen. Aber wäre es richtig, so müßtest du aus der Tatsache, daß unlösbar ist, schließen, daß die Ungleichung für alle des Falls wahr ist (und nicht für keines). Denn die nach oben geöffnete Parabel muß dann ganz oberhalb der x-Achse liegen.

@ G121120
Im 2. Fall sollte es wohl heißen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Betragsungleichungen überprüfen
Zitat:
Original von Mathman91
...
Ich habe leider keinen online Rechner gefunden der auch mit Betragsungleichungen zurecht kommt.
...

Hier ist einer!

mY+
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Beispiel:

Dann lautet die Lösung nun:

2. Beispiel:

2.Fall:

Müsste dann lauten:



So müsste es passen?

Eine Frage noch, wenn ich mit einer negativen Zahl multipliziere und Dividiere, dann kehrt
sich das Zeichen um.

Wenn ich aber jetzt z.b. wie in meinem ersten Beispiel folgendes hätte:



und jetzt durch zwei Dividiere, dann habe ich ja:



Würde sich hier auch das Vorzeichen umdrehen?
Es ist ja auch eine Division durch eine negative Zahl?

SG
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »





So lange die Parabel unterhalb der grünen Gerade verläuft ...

---------------------------

Du hast durch +2 dividiert, der Divisor ist also positiv, da dreht sich nichts um!

mY+
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Man, schon wieder ein Schreibfehler. Hammer

Ich meinte:

Ich habe das nochmal in meinem letzten Post erwähnt, da der Kollege: G121120 geschrieben hat: und das ist Falsch.

Richtig ist ja:

Vielen Dank für die Hilfe.

SG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon aufpassen. ist nicht falsch, sondern der Fall 2 der Rechnung (für ).
Dieser hat allerdings als Lösung die leere Menge.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathman91
1. Beispiel:

Dann lautet die Lösung nun:

Nach all dem, was zum 1.Beispiel oben gesagt wurde, meinst du das doch hoffentlich nicht ernst. unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »



.. ohne Worte

mY+
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist die verwirrung perfekt.

1.Beispiel:

1. Fall:



Lösung: Keine Lösung

2. Fall:



Lösung: Keine Lösung

Gesamtlösung:

2. Beispiel:

1. Fall:

Dann habe ich:

PQ ergibt:

keine Lösung.

2. Fall:

Hier nochmal die Rechnung:

/-x^2
/*(-1)


PQ ergibt:

und

Gesamtlösung:

Was passt hiert nicht?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gleichheitszeichen bei einer Ungleichung.
Sofern Du beim Beispiel bist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß du die Übersicht verlierst, liegt vor allem daran, daß fast keine Zeile bei dir ohne Rechenfehler ist. Die Helfer hier wissen gar nicht so recht, ob sie erst auf die vielen kleinen Rechenfehler eingehen sollen oder auf die eigentlichen Denkfehler, die bei der Lösung der Betragsungleichung auftreten.

Daß es bei Beispiel 1 keine Lösungen gibt, habe ich dir bereits vor zwei Tagen gezeigt. Vermutlich hast du diesen Beitrag nicht gelesen.

Ich gebe dir bei Beispiel 2 einmal eine Musterlösung, wie man es machen könnte.



1. Fall:

Die Ungleichung schreibt sich jetzt so:



Das ist äquivalent zu



Solch eine quadratische Ungleichung kann man lösen, indem man die zugehörige Parabel betrachtet: . Und hier geht es um die Frage negativer y-Werte: . Die Parabel ist nach oben geöffnet (da der Koeffizient des quadratischen Gliedes 1, also positiv ist). Wenn sie keine Schnittstellen mit der x-Achse besitzt, dann liegt sie ganz oberhalb der x-Achse, besitzt also keine negativen y-Werte. Wenn sie dagegen Schnittstellen besitzt, dann sind die y-Werte genau für die x-Werte zwischen den Schnittstellen negativ. Suchen wir also die Schnittstellen der Parabel mit der x-Achse:



Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist . Die Gleichung besitzt daher keine Lösungen. Wie oben ausgeführt, besitzt die Parabel keine negativen y-Werte. Anders gesagt:

Die Ungleichung besitzt im 1. Fall keine Lösungen.

2. Fall:

Hier lautet die Ungleichung



Das ist äquivalent zu



Auch hier betrachten wir die zugehörige nach oben geöffnete Parabel . Ihre Schnittstellen mit der x-Achse erhält man mit der Gleichung



Die Diskriminante ist , damit gibt es zwei Schnittstellen:



Beide Schnittstellen sind . Damit liegt das ganze Intervall dazwischen im x-Bereich des zweiten Falles. Die Lösungen im zweiten Fall sind die Zahlen des Intervalls



Alles zusammengefaßt ist die Lösungsmenge der Ungleichung. In mYthos' Zeichnung siehst du das Intervall, wenn du die beiden Schnittstellen von rot und grün senkrecht auf die x-Achse projizierst. Der Bereich dazwischen ist die Lösungsmenge.
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich jetzt in meinem letzten Post geschrieben.

Danke.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du es schreiben wollen. Das weiß man nicht so genau. Geschrieben hast du es jedenfalls nicht. Man findet es ja noch:

Zitat:
Original von Mathman91
Gesamtlösung:


Im Latex-Code stehen bei dir geschweifte Klammern. Um sie anzeigen zu lassen, mußt du \{ und \} schreiben. Die Schreibweise



bedeutet aber eine Menge mit zwei Elementen. Abgesehen von den Rundungsproblemen gibst du damit an, daß die Ungleichung von zwei (!!!) Zahlen gelöst wird. Das ist aber FALSCH. Richtig dagegen ist, daß die Ungleichung von allen Zahlen des Intervalls



gelöst wird. Das sind überabzählbar viele reelle Zahlen.

Mach dich einmal kundig, wann man geschweifte Klammern, eckige Klammern und runde Klammern schreibt. Das ist von eminenter Bedeutung und keinesfalls ein zu vernachlässigendes Aperçu.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »