Positivität eines Skalarprodukts

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Joogy Auf diesen Beitrag antworten »
Positivität eines Skalarprodukts
Meine Frage:
Hallo
stehe etwas auf dem Schlauch. Habe Vektor v = (v1,v2,v3) und w (w1,w2,w3)in R3 und folgende Abbildungsvorschrift R3 x R3. Soll zeigen ob es sich um Skalarprodukt handelt

2v1(w1+w3) + v2w2 + 2v3(w1+w3)

durch

a) Symetrie
b) Positivität
c) Linearität

Weiss nur das Symetrie: Vektor v skalar vektor w = vektor w skalar vektor v Positivität: vektor v skalar vektor v größer gleich 0 und genau 0 wenn v=0
Linearität a,b+@c = a,b + @(a,c)

Nur wie setze ich das auf 2v1(w1+w3) + v2w2 + 2v3(w1+w3) um???

Kann mir da einer helfen? Habe leider überhaupt keinen Ansatz.



Meine Ideen:
???
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RE: Positivität eines Skalarprodukts
Vesuche zu finden, so dass 2v1(v1+v3)+v2v2+2v3(v1+v3)=0 ist.
Nutze dabei, dass der erste und dritte Summand ähnlich sind.
Joogy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positivität eines Skalarprodukts
Danke für die schnelle Antwort.

Ich dachte die Positivität ist v * v größer gleich null

Wie kommst du denn dann auf 2v1(v1+v3)+v2v2+2v3(v1+v3)=0

Hier hast du doch w1,w2,w3 durch v1,v2,v3 ersetzt.

Wenn ich versuche v ungleich 0 zu finden ende ich bei

sqrt (2) (v1+v3) - v2 = 0

und komme da nicht weiter.
Joogy Auf diesen Beitrag antworten »

2v1(v1+v3) + v2v2 + 2v3(v1+v3) = 0

(v1+v3) . (2v1+2v3) + v2v2=0

(v1+v3) . 2(v1+v3) + v2^2 = 0
2(v1+v3)^2 + v2^2 = 0

sqrt (2) (v1+v3) + v2 = 0

und, wie geht das hier weiter ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Angaben sind nicht präzise. Du schreibst: Soll zeigen ob es sich um Skalarprodukt handelt. Das ist kein sinnvolles Deutsch. Entweder muß es heißen:

Ich soll zeigen, daß es sich um ein Skalarprodukt handelt.

Oder es muß heißen:

Ich soll untersuchen, ob es sich um ein Skalarprodukt handelt.

Und was ist nun die Aufgabe? Vielleicht versteht du den Hinweis von URL besser, sobald du die Aufgabe erst mal zurechtgerückt hast.

Zitat:
Original von Joogy
2(v1+v3)^2 + v2^2 = 0

sqrt (2) (v1+v3) + v2 = 0


Dieser Schluß ist eines Hochschulmathematikers unwürdig.
Joogy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold

das mit der sqrt ... ist natürlich Blödsinn. Wurzel aus Summe..

Also "Ich soll untersuchen, ob es sich um ein Skalarprodukt handelt" in dem ich die Symmetrie, Positivität und Linearität untersuche.

Ein Tipp bezüglich der Positivität war das ich ein v finde mit dem

2v1(v1+v3) + v2v2 + 2v3(v1+v3) = 0 ist.

Etwas umgestellt ergibt sich 2(v1+v3)^2 + v2^2 = 0 Das gilt für alle v ungleich 0 da ^2 immer positiv ist

Somit hätte ich die Positivität bewiesen. ???

Mir ist nur unklar warum ich für w1,w2,w3 v1,v2,v3 einsetzen soll wenn die Positivität v * v ist ??
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joogy
Etwas umgestellt ergibt sich 2(v1+v3)^2 + v2^2 = 0 Das gilt für alle v ungleich 0 da ^2 immer positiv ist


Bei dir ist vieles halbgar. Irgendwie bist du auf der richtigen Spur, dann aber machst du wieder einen Schritt zu viel.

Richtig ist Folgendes:

Für alle gilt

Du hast an dieser Stelle ein Gleichheitszeichen stehen. Das ist nicht richtig. Allerdings gibt es , für die das Gleichheitszeichen richtig ist. Ist es nur für richtig, dann ist die Bilinearform positiv definit. Könnte es aber nicht auch sein, daß das Gleichheitszeichen für ein gilt? Dann wäre die Bilinearform nicht positiv definit. Geh mal auf die Suche.
Joogy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold

Grundproblem ist das ich nicht weiss warum ich w durch v ersetzen soll um auf

2v1(v1+v3)+v2v2+2v3(v1+v3)=0

zu kommen.

Positivität ist doch v,v (Skalarprodukt) immer größer gleich null für v größer 0 und v,v = 0 , d.h. der Vektor mit sich selber multipliziert muss positiv sein.

Du schreibst:

Ist es nur für v=0 richtig, dann ist die Bilinearform positiv definit.

Positiv bedeutet doch aber auch das v,v größer = Null werden kann, oder?

2(v1+v3)^2+v2^2≥0

da ich quadriere erhalte ich nur positive Summanden, d.h. das Ergebnis ist immer größer Null und kann nicht Null werden da die Summer zweier pos. Zahlen immer größer 0 ist, wenn einer der Summanden ungleich Null ist.

Du schtreibst: Könnte es aber nicht auch sein, daß das Gleichheitszeichen für ein v≠0 gilt? Dann wäre die Bilinearform nicht positiv definit.

Nein, die Gleichung kann nicht Null werden.

Somit ist das ein Skalarmultiplikation, oder?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joogy
Grundproblem ist das ich nicht weiss warum ich w durch v ersetzen soll um auf
2v1(v1+v3)+v2v2+2v3(v1+v3)=0
zu kommen.

Bei der Positivität geht es doch gerade darum, das Skalarprodukt von v mit sich selbst zu berechnen. Deswegen musst du w=v setzen.
Dann musst du untersuchen, ob das Skalarprodukt von v mit sich selbst immer ist und ob es genau dann Null ist, wenn .
Interessant erschien mir nur die letzte Betrachtung. Deswegen habe ich dir geraten, die Gleichung 2v1(v1+v3)+v2v2+2v3(v1+v3)=0 zu betrachten.
Zitat:
da ich quadriere erhalte ich nur positive Summanden, d.h. das Ergebnis ist immer größer Null und kann nicht Null werden da die Summer zweier pos. Zahlen immer größer 0 ist, wenn einer der Summanden ungleich Null ist.

Tja, wenn einer der Summanden ungleich Null ist.
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