A^t = -A <=> Determinante = 0

13.11.2020, 12:12	Aron	Auf diesen Beitrag antworten »
A^t = -A <=> Determinante = 0 Meine Frage: Sei n ungerade und A Element einer nxn Matrix mit dem Körper de Komplexen zahlen. A transponiert ist = -A zu zeigen ist nun, dass det(A)=0 Meine Ideen: meine idee ist annzunhemen, dass die Determinante ? 0 ist. daraus würde ja nun folgen, dass alle spalten linear unabhängig sind und es keine 0 spalte gibt. Aber wie zeige ich jetzt, dass es nicht geht, dass A transponiert=-A ist?
13.11.2020, 12:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \det\left(A\right)=\det\left(A^T\right) \end{eqnarray}$ sowie auch $\begin{eqnarray} \det\left(-A\right) = (-1)^n\cdot \det\left(A\right) \end{eqnarray}$ , letzteres indem man einfach aus jeder der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Zeilen den Faktor (-1) herauszieht. Mit beiden Gleichungen sollte man für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ dann schnell zum gewünschten Schluss kommen.
13.11.2020, 13:30	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Einordnung (es mag noch andere Anwendungen geben). Wikipedia weiß: Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind.

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