Beweis Menge

13.11.2020, 14:50

Toni23123

Beweis Menge

Beweisen sie diese Aussage:

$\begin{eqnarray*} A \cdot (B \cup C) = AB \cup AC \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Seien $\begin{eqnarray*} a \in A,b \in B, c \in C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in B \cup C \end{eqnarray*}$ und das Produkt ist definiert als

$\begin{eqnarray*} A \cdot (B \cup C) = \{a\lambda | a \in A \wedge \lambda \in B\cup C \} =\{a\lambda | a \in A \wedge \lambda \in B\cup C \} \end{eqnarray*}$

Aber wie genau soll ich jetzt weitermachen, rein intuitiv, sehe ich, dass das irgendwie gelten muss. Weil man die Mengen B und C nur vereinigt und die Elemente zusammen in eine Menge legt und wenn man das Produkt bildet, ist es ja egal, ob ich zuerst das Produkt mit B und danach mit C bilde.

13.11.2020, 15:10

HAL 9000

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Du fällst mir hier ein wenig mit der Tür ins Haus, denn eine Operation $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ mit Mengenoperanden will erstmal erklärt sein.

Sinnvoll wäre also erstmal $\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$ sauber zu definieren (was bedeutet eigentlich $\begin{eqnarray*} a\lambda \end{eqnarray*}$ , wenn wir wie hier NICHTS über die Struktur von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ wissen!!!).

Dann kann man daran gehen, die Aussage zu beweisen, die meiner Vermutung nach auch eher $\begin{eqnarray*} A\cdot (B\cup C) = (A\cdot B) \cup (A\cdot C) \end{eqnarray*}$ lauten sollte.

13.11.2020, 15:23

Toni23123

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Hey, also gilt:

$\begin{eqnarray*} A \cdot B = \{ab| a \in A \wedge b \in B\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cdot C = \{ac| a \in A \wedge c \in C\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\cdot B) \cup (A\cdot C) = \{ab| a \in A \wedge b \in B\} \cup \{ac| a \in A \wedge c \in C\} =\{ab,ac| a \in A \wedge b \in B \ \text{oder}\ a \in A \wedge c \in C\} \end{eqnarray*}$

Ist die Umformung soweit richtig und bringt mich das so weiter? verwirrt

13.11.2020, 17:54

Elvis

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Das bringt nichts. Mengen kann man nicht multiplizieren. Wenn du es möchtest, musst du mehr über die Mengen und über die Multiplikation verraten. Das hat HAL9000 schon gesagt, aber du bist bisher noch nicht darauf eingegangen.
In alter Zeit (um 1900 ?) war der Malpunkt $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ das Zeichen für Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ von Mengen. Wenn das gemeint ist, dann ist die Aussage ein Distributivgesetz in einem booleschen Verband, also richtig und leicht zu beweisen - aber nicht so, wie du es machst.

13.11.2020, 17:56

Toni23123

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Hey, ok dann hab ich mich verschrieben.

Es ist nicht die Multiplikation gemeint, sondern die Konkatenation.

So genau ist die Aufgabe:

Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} A(B \cup C) = AB \cup AC \end{eqnarray*}$

13.11.2020, 18:20

Elvis

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Du kennst schöne Worte, weißt du auch, was sie bedeuten ? Wenn ja, dann ist die Aufgabe doch trivial, oder nicht ?

13.11.2020, 18:26

Toni23123

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$\begin{eqnarray*} A \circ (B \cup C) = (A \circ B) \cup (A \circ C) \end{eqnarray*}$

Ja, naja ich weiß halt, dass wenn ich zwei Mengen habe, A und B mit dem Element a

Dann ist: $\begin{eqnarray*} A \circ B =\{aa\} \end{eqnarray*}$

Also, mir ist schon bewusst, dass die Gleicheit da oben gilt. Aber wie ich das zeige, ist halt mein Problem. Big Laugh

13.11.2020, 18:34

Elvis

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Zum Beweis der Mengengleichheit nutzt man meistens die Teilmengenrelation: $\begin{eqnarray*} X=Y\Leftrightarrow X\subseteq Y\wedge Y\subseteq X \end{eqnarray*}$ . So würde ich auch hier vorgehen, das scheint zu funktionieren. Du könntest sogar versuchen, die Gleichungen aus deinem ersten Beitrag zu ergänzen, das geht (vielleicht) auch, ist aber nicht so durchsichtig. Der Beweis, der mir am ehesten einleuchtet, benutzt Worte und Teilmengenrelationen auf logischer Ebene.

13.11.2020, 18:50

Toni23123

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Seien $\begin{eqnarray*} a \in A,b \in B, c \in C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=Y\Leftrightarrow X\subseteq Y\wedge Y\subseteq X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \circ (B \cup C) = (A \circ B) \cup (A \circ C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a \in A \wedge b,c \in B \cup C \end{eqnarray*}$

Aber diese Relation sieht für mich aus, wie der Schnitt. verwirrt

Wie baue ich die Verknüpfung da ein? verwirrt

13.11.2020, 19:02

Elvis

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Der Beweis, der mir am ehesten einleuchtet, benutzt Worte und Teilmengenrelationen auf logischer Ebene.

$\begin{eqnarray*} w\in A\circ (B\cup C)\Leftrightarrow w=au,a \in A,u\in B\cup C\Leftrightarrow w=au,a\in A, (u=b\in B\vee u=c\in C)\Leftrightarrow w=ab\vee w=ac, a\in A,b\in B,c\in C\Leftrightarrow w\in A\circ B\vee w\in A\circ C\Leftrightarrow w\in (A\circ B)\cup (A\circ C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ beweist $\begin{eqnarray*} A\circ (B\cup C)\subseteq (A\circ B)\cup (A\circ C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ beweist $\begin{eqnarray*} (A\circ B)\cup (A\circ C)\subseteq A\circ (B\cup C) \end{eqnarray*}$
beides zusammen beweist die Behauptung.

Das ist nicht nur formale Mengenlehre mit unbekannten Eigenschaften unbekannter Operatoren auf beliebigen Mengen. Man muss bei konkreten Problemen auch mal ein wenig konkret werden und nicht nur abstrakte Formeln jonglieren.

13.11.2020, 22:30

Luftikus

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RE: Beweis Menge

Zitat:

Aber wie genau soll ich jetzt weitermachen, rein intuitiv, sehe ich, dass das irgendwie gelten muss. Weil man die Mengen B und C nur vereinigt und die Elemente zusammen in eine Menge legt und wenn man das Produkt bildet, ist es ja egal, ob ich zuerst das Produkt mit B und danach mit C bilde.

Deine Frage ist eigentlich, wie man den Beweis knapp und bündig formal schreibt:

i) $\begin{eqnarray*} u \in A (B \cup C) \rightarrow u=wz \wedge w \in A \wedge (z \in B \vee z \in C) \rightarrow u=wz \wedge (w \in A \wedge z \in B) \vee (w \in A \wedge z \in C) \rightarrow u \in AB \vee u \in AC \rightarrow u \in (AB \cup AC) \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} u \in (AB \cup AC) \rightarrow u \in AB \vee u \in AC \rightarrow u=wz \wedge (w \in A \wedge z \in B) \vee (w \in A \wedge z \in C) \rightarrow u=wz \wedge w \in A \wedge (z \in B \vee z \in C) \rightarrow u \in A (B \cup C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow A (B \cup C) = (AB \cup AC) \end{eqnarray*}$

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