Z-Transformation Korrespondenz aus geometrischer Reihe

13.11.2020, 22:04

Gast006

Z-Transformation Korrespondenz aus geometrischer Reihe

Meine Frage:
Aufgabe:
1)Zeigen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe, dass folgende Korrespondenz für die z-Transformatin gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{Z} \left[{ \varepsilon [n] {a}^{n}} \right] = \frac{1}{1 - a{z}^{-1}} \quad a \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$
2) Welcher Konvergenzbereich ergibt sich ?

Meine Ideen:
Zu den Aufgaben:
Aufg 1. Hier muss ich doch mit der folgenden Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^{\infty} {a}^{n} = \frac{1}{1 - a} \end{eqnarray*}$
nur mit $\begin{eqnarray*} \frac{z}{z} \end{eqnarray*}$ multiplizieren und habe das doch damit bewiesen oder ?
Aufg 2. Ist dann der Konvergenzbereich nicht |a| < 1 ?

14.11.2020, 00:48

Finn_

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \varepsilon[n] \end{eqnarray*}$ ? Die rechte Seite gehört zu $\begin{eqnarray*} \mathcal Z[a^n]. \end{eqnarray*}$

Das mit dem Multiplizieren klappt nicht, da im Nenner des Summanden mit Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^n} \end{eqnarray*}$ auftauchen muss. Man muss $\begin{eqnarray*} x:=\tfrac{a}{z} \end{eqnarray*}$ in die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}\quad (x\in\mathbb C, |x|<1) \end{eqnarray*}$

einsetzen und bekommt demnach $\begin{eqnarray*} \Big|\frac{a}{z}\Big|<1. \end{eqnarray*}$

14.11.2020, 05:20

Gast006

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$\begin{eqnarray*} \varepsilon[n] \end{eqnarray*}$ ist die zeitdiskrete Sprungfolge
und rechts daneben, soll die z-transformierte von
$\begin{eqnarray*} \varepsilon[n] {a}^{n} \end{eqnarray*}$ sein. Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - a{z}^{-1}} \end{eqnarray*}$ ist die transformiete
Hier vorab noch eine Frage. Warum ist die zeitdiskrete Tranformation, der zeitdiskreten Sprungfolge oder Sprungfunktion gleich 1 ?

14.11.2020, 18:54

Finn_

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Ach so, alles klar. Das ist in diesem Fall technische Spielerei. Die Sprungfolge

$\begin{eqnarray*} \varepsilon[n]=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge 0 \end{eqnarray*}$ , sonst 0

macht aus der bilateralen Z-Transformation die unilaterale:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^\infty \varepsilon[n]a[n]z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{-1} 0 + \sum_{n=0}^\infty a[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty a[n]z^{-n}. \end{eqnarray*}$

Die Z-Transformierte der Sprungfolge ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^\infty \varepsilon[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty z^{-n} = \frac{1}{1-1/z} = \frac{z}{z-1}, \end{eqnarray*}$

das ist ein Spezialfall der Folge der Aufgabenstellung. Die Impulsfolge

$\begin{eqnarray*} \delta[n] = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ , sonst 0

besitzt die Z-Transformierte

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n]z^{-n} = z^{-0} = 1. \end{eqnarray*}$

14.11.2020, 22:40

Gast006

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Zitat:

Original von Finn_
Das mit dem Multiplizieren klappt nicht, da im Nenner des Summanden mit Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^n} \end{eqnarray*}$ auftauchen muss.

Das verstehe ich nicht. Was meinst du denn mit Nenner im Summanden mit Index n der Term ....
Das mit der Sprungfolge habe ich jetzt verstanden.

15.11.2020, 01:18

Finn_

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Wenn du

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$

auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} \tfrac{z}{z} \end{eqnarray*}$ erweiterst, bekommst du

$\begin{eqnarray*} z\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z} = \frac{z}{z-za}. \end{eqnarray*}$

So hab ich das verstanden. Wie es anders gemeint sein könnte, sehe ich nicht. Die Rechnung $\begin{eqnarray*} a^n = \Big(\frac{z}{z}a\Big)^n = z^n\frac{a^n}{z^n} \end{eqnarray*}$ bringt dich auch nicht weiter.

Auf $\begin{eqnarray*} \mathcal Z[\varepsilon[n]a^n]=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z^n} \end{eqnarray*}$ kommst du so nicht.

15.11.2020, 02:18

Gast006

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Zitat:

Original von Finn_
Auf $\begin{eqnarray*} \mathcal Z[\varepsilon[n]a^n]=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z^n} \end{eqnarray*}$ kommst du so nicht.

Hättest du es so aufgeschreiben, hätte ich es eine millisekunde eher gesehen haha:
$\begin{eqnarray*} \mathcal Z[\varepsilon[n]a^n]=\sum_{n=0}^\infty \left( {\frac{a}{z}} \right)^{n} \end{eqnarray*}$
Aber gut, ist ja im Grunde genommen das selbe.

Wäre es dann richtig, dass so hinzuschreiben ?
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1 - a} \overbrace{=>}^{a := \frac{a}{z}} \sum_{n = 0}^{\infty} {\left( \frac{a}{z} \right)}^{n} = \frac{1}{1 - a{z}^{-1}} = \frac{z}{z - a} \end{eqnarray*}$ und der Konvergenzbereich wäre somit $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a}{z} \right| < 1 \end{eqnarray*}$ wie du bereits gesagt hast.

Auf der Seite Physikerboard, gibt es unter der Rubrik Elektrik eine Aufgabe Namens - z-Übertraungsfunktion Impulsantwort und Signalflußplan. Da ich hier leider keinen Link posten kann, sage ich dir einfach den Namen. Vielleicht kannst du mir dabei auch helfen. Es geht um Filter.

15.11.2020, 03:03

Finn_

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Ja, bis auf Haarspalterei: Der Konvergenzbereich ist die Menge der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ für die diese Ungleichung gilt. Die Ungleichung ist umformbar zu $\begin{eqnarray*} |z|>|a| \end{eqnarray*}$ . Das sind die komplexen Zahlen außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ .

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z-Übertragungsfunktion, Impulsantwort, Signalflußplan

15.11.2020, 03:27

Gast006

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Zitat:

Original von Finn_
Ja, bis auf Haarspalterei: Der Konvergenzbereich ist die Menge der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ für die diese Ungleichung gilt. Die Ungleichung ist umformbar zu $\begin{eqnarray*} |z|>|a| \end{eqnarray*}$ . Das sind die komplexen Zahlen außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ .

Das will ich aber jetzt auch verstehen.
Wie kommst du darauf, dass es ein Kreis ist. Muss die Ungleich, nicht einer Kreisgleichung genügen, damit man Radius und Mittelpunkt ablesen kann ?

15.11.2020, 11:27

Finn_

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Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |z|>|a| \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} |z|^2>|a|^2 \end{eqnarray*}$ . Und dies bedeutet $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2>|a|^2 \end{eqnarray*}$ . Laut Pythagoras beschreibt $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2=|a|^2 \end{eqnarray*}$ einen Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ .

15.11.2020, 21:05

Gast006

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Das mit dem Radius leuchtet mir dann ein, aber wie kommt man dann darauf, dass der Mittelpunkt im Ursprung ist, wenn wir den Realteil von z nicht kennen ?

15.11.2020, 22:20

Finn_

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Die Lösungen $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$ bilden den Kreis mit Mittelpunkt im Urspurng und Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Setze nun $\begin{eqnarray*} x:=\operatorname{Re}(z) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y:=\operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r:=|a| \end{eqnarray*}$ .

16.11.2020, 01:26

Gast006

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Achso damit, ist einfach die ganze x bzw. Realteil - Achse gemeint und die ganze y bzw. Imaginärteil - Achse und dort wo sich die Achsen schneiden, ist dann ja der Ursprung. Hatte mich etwas verwirrt.

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