Beweis Schnittpunkt von Polare und Kreis Sekante

15.11.2020, 13:56

tobi97_

Beweis Schnittpunkt von Polare und Kreis Sekante

Meine Frage:
Hallo allerseits,

ich habe eine Frage zum Beweis vom Schnittpunkt von einer Polaren mit einem Kreis. Ich komme einfach nicht drauf, wie man beweist, dass wenn X ein Äußerer Punkt vom Kreis ist, die Polare den Kreis in zwei Punkten schneidet und somit die Sekante ist.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Besten Dank,
Tobi

Meine Ideen:
Meine Idee wäre, dass man benutzt, dass der Abstand vom Mittelpunkt zum Punkt X ja größer ist als r. Aber wo man das genau benutzt fällt mir einfach nicht ein.

15.11.2020, 14:55

mYthos

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Der Beweis kann geometrisch oder rechnerisch geführt werden.
Bei den Berechnungen ist die Kenntnis der Tangenten- und Polarengleichung Voraussetzung.
(Die Tangente ist die Polare im Berührungspunkt, daher sind die Spaltgleichungen identisch; Hauptsatz der Polarentheorie, usw.)

Geometrisch verwenden wir den Höhensatz und Pythagoras.
Der außerhalb des Kreises liegende Punkt haben den Abstand d>r vom Mittelpunkt des Kreises, die Polare scheidet die Verbindung XM im Abstand m von M.
Die Länge der Sekante sei $\begin{eqnarray*} 2s \end{eqnarray*}$ . Dann gelten (--> Symmetrie bezüglich XM, rechter Winkel zw. t und r):

$\begin{eqnarray*} s^2 = m (d-m) \end{eqnarray*}$ .. Höhensatz

$\begin{eqnarray*} s^2 + m^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ .. Pythagoras
-----------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m = \frac {r^2} d \end{eqnarray*}$

Diese letzte Beziehung $\begin{eqnarray*} m \cdot d = r^2 \end{eqnarray*}$ gewinnt man - noch einfacher - auch direkt aus dem Kathetensatz (!)

Wegen $\begin{eqnarray*} d > r \end{eqnarray*}$ ist daher $\begin{eqnarray*} m < r \end{eqnarray*}$

mY+

15.11.2020, 15:27

tobi97_

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Du setzt ja aber in deinem Beweis voraus, dass die Polare den Kreis schneidet, oder?

15.11.2020, 18:40

mYthos

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Man muss von der Definition der Polaren ausgehen. Demnach ist diese die Verbindungsgerade der Berührungspunkte der beiden vom Pol P ausgehenden Tangenten.
Reelle Tangenten lassen sich nur von Punkten auf dem Kreis oder von Punkten außerhalb anlegen.
Bei Punkten innerhalb des Kreises existieren daher zwar nur komplexe Tangenten und Berührungspunkte, die Polare jedoch ist reell und verläuft außerhalb des Kreises - parallel zur inneren Polaren und durch deren Pol P.

Unabhängig von der Lage des Pols $\begin{eqnarray*} P \neq M \end{eqnarray*}$ lautet die Gleichung der Polaren bezüglich des Kreises M; r

$\begin{eqnarray*} (\vec P - \vec M) \cdot ( \vec X - \vec M) = r^2 \end{eqnarray*}$

Nun nimm einmal den Pol P mit $\begin{eqnarray*} MP < r \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} MP > r \end{eqnarray*}$ an und bestimme jeweils den Abstand der Polaren von M.
Zur einfacheren Rechnung kann oBdA der Mittelpunkt des Kreises im Nullpunkt angenommen werden.

[attach]52141[/attach]

mY+

20.12.2020, 14:58

tobi97_

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Danke nochmal für die Antwort.. Das klingt logisch! Kann man das Ganze denn auch analytisch lösen? Indem man den Abstand von M zur Polaren bestimmt? Dann würde man ja darauf kommen, dass der kleiner als r ist...

20.12.2020, 16:55

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Unabhängig von der Lage des Pols $\begin{eqnarray*} P \neq M \end{eqnarray*}$ lautet die Gleichung der Polaren bezüglich des Kreises M; r

$\begin{eqnarray*} (\vec P - \vec M) \cdot ( \vec X - \vec M) = r^2 \end{eqnarray*}$

Nun nimm einmal den Pol P mit $\begin{eqnarray*} MP < r \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} MP > r \end{eqnarray*}$ an und bestimme jeweils den Abstand der Polaren von M.
...

Das wurde im vorigen Beitrag bereits vorgeschlagen, du rennst offene Türen ein! Big Laugh

Genau genommen steckt in der obigen Vektorgleichung der Beweis schon drin! Und DAS ist analytisch!

Zum Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ der - von dir angesprochene - Schnittpunkt der Polaren mit der Geraden PM.
Wenn P außerhalb des Kreises liegt, ist der Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec P - \vec M \end{eqnarray*}$ größer als r: $\begin{eqnarray*} |\vec P - \vec M| > r \end{eqnarray*}$
Nun schätze damit den Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec X_1 - \vec M \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ liegt auf der Polaren) in der Gleichung

$\begin{eqnarray*} (\vec P - \vec M) \cdot ( \vec X_1 - \vec M) = r^2 \end{eqnarray*}$

ab. Fertig! Mehr brauchst du hier nicht.

Hinweis: Sind $\begin{eqnarray*} \vec a \text{ und }\vec b \end{eqnarray*}$ kollinear (liegen auf einer Geraden), dann gilt: $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b|<br /> \end{eqnarray*}$

Was kann man sagen, wenn P auf dem Kreis liegt? Wie sehen dann die Polare und die Abstände aus?
Was passiert, wenn sich der Pol P innerhalb des Kreises befindet?

mY+

20.12.2020, 17:51

tobi97_

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Master of Desaster passt da ganz gut, der bin wohl ich... Danke für deine Geduld Big Laugh

Mit dem Kathetensatz können wir ja zeigen, dass der Abstand r^2 / |X-M| ist. Kann man das sonst irgendwie durch eine Abstandsformel berechnen? Man könnte ja bestimmt den Abstand von Polare und M explizit ausrechnen, dann müsste man ja auf die Gleichung kommen.. Auch ohne geometrische Betrachtung.

20.12.2020, 18:51

mYthos

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Ohne konkrete Angaben kann dieser Abstand zwar angegeben, aber nicht explizit berechnet werden.
Außerdem soll nur gezeigt werden, dass der Abstand d der Geraden von M kleiner als der Radius ist, andernfalls gibt es keine Schnittpunkte mit dem Kreis.

[attach]52309[/attach]

Der Abstand d kann klassisch mit der HNF (Hesse'sche Normalform) bestimmt werden, indem der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{MX} \end{eqnarray*}$ auf den normierten Vektor von $\begin{eqnarray*} \vec{MP} \end{eqnarray*}$ projiziert wird:
(deshalb die Division durch den Betrag |MP|)

$\begin{eqnarray*} d = (\vec X - \vec M) \cdot \frac {\vec{MP}}{|\vec{MP}|} = \frac{(\vec X - \vec M) \cdot (\vec P - \vec M)}{|\vec{MP}|} \end{eqnarray*}$

Der Wert des Zählers ist genau $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ (sh. Polarengleichung), hingegen ist jener des Nenners lt. Voraussetzung größer als r ...
Was kann hiermit für d ausgesagt werden?

Weißt du auch die Antworten auf die vorhin gestellten Fragen?

mY+

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