Polynomfunktionen

15.11.2020, 17:26

Thomas007

Polynomfunktionen

Hallo miteinander

Ich bin gerade dabei, einen Lückentext im Theorieheft zu vervollständigen. Folgendes habe ich schon (da bin ich auch zu ziemlich 100% sicher):

Ist Q(x) eine Polynomfunktion mit einer Nullstelle in x_0, gilt also Q(x_0) = 0, so ist P(x) = Q(x + x_0) ein Polynom mit einer Nullstelle in x = 0.

Damit ist das Polynom P(x) von der Form P(x) = ________________ .

Also gilt für das Polynom Q(x): Q(x) = P(x - x_0) = ________________ .

Was gehört (sinnvollerweise) in die erste Lücke?
So kann ich die zweite dann sicher weiter vervollständigen.

Danke für allfällige Hinweise / Tipps.

15.11.2020, 20:26

mYthos

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Q(x) = (x - x0)*R(x) (Nullstellensatz, Zerlegung bzw. Abspaltung des Linearfaktors)
P(x) = Q(x + x0) = ... Setze jetzt oben in Q(x) anstatt x --> x + x0, was kommt?

mY+

16.11.2020, 12:52

Thomas007

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Hallo mY+

Was bedeutet Dein R?

Also, reicht es, wenn ich das Ganze wie folgt vervollständige?

Ist Q(x) eine Polynomfunktion mit einer Nullstelle in x_0, gilt also Q(x_0) = 0, so ist P(x) = Q(x + x_0) ein Polynom mit einer Nullstelle in x = 0.

Damit ist das Polynom P(x) von der Form P(x) = Q(x+x_0)

Also gilt für das Polynom Q(x): Q(x) = P(x - x_0) = Q(x) = ???

Was sollte sinnvollerweise in die letzte Lücke? Das verstehe / sehe ich wirklich noch nicht, auch wenn ich konkrete Beispiele auf GeoGebra angeschaut habe... :/

16.11.2020, 14:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Thomas007
Was bedeutet Dein R?

R ist ein Polynom, dessen Grad um 1 geringer ist als der Grad von Q.

Zitat:

Original von Thomas007
Damit ist das Polynom P(x) von der Form P(x) = Q(x+x_0)

Nun ja, da P(0) = 0 ist, gibt es ein Polynom R (mit um 1 kleinerem Grad), so daß gilt $\begin{eqnarray*} P(x) = x \cdot R(x) \end{eqnarray*}$ .

16.11.2020, 19:25

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Q(x) = (x - x0)*R(x)
P(x) = Q(x + x0) = ... Setze jetzt oben in Q(x) anstatt x --> x + x0, was kommt?

mY+

Diesen Tipp hättest du konsequent umsetzen sollen: P(x) = (x + x0 - x0) * R(x) = x * R(x)
Also ist x = 0 eine Nullstelle des neuen Polynoms.

Verändert man im Polynom das Argument von x auf x + x0, so entspricht dies einer Verschiebung des Graphen (bzw. des Koordinatensystems) um x0 in Richtung der x-Achse.

Beispiel:

Rot: Eine Nullstelle x = 3
Grün: Verschiebung um 3 nach links, neue Nullstelle x = 0

mY+

18.11.2020, 09:07

Thomas007

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Vielen Dank für eure Antworten.

Ich hätte noch eine Schlussfrage: Wenn P(x) = (x + x0 - x0) * R(x) = x * R(x), dann ist das Polynom Q(x) ja gegeben durch Q(x) = P(x - x_0).

Kann man das auch als Quotient schreiben, z.B. durch: Q(x) = P(x)/(x-x_0) = R(x) ?

Herzlichen Dank für die Klärung. smile

18.11.2020, 14:39

mYthos

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Selbstverständlich. Aber natürlich so:
Von dem Polynom Q(x) mit der Nullstelle x0 wurde ja der Linearfakor (x - x0) abgespalten.

Q(x) = R(x)*(x - x0) --> R(x) = Q(x) / (x - x0)

Denn das ursprüngliche Polynom war mit Q(x) gegeben.

Währenddessen ist R(x) = P(x) / x

mY+

19.11.2020, 11:13

Thomas007

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Vielen Dank für die Antworten und Erklärungen.

Darf ich also nochmals alles zusammenfassen (und ihr korrigiert respektive ergänzt, sollte etwas nicht stimmen?)? --> Vielen Dank!

--------

Um zu sehen, dass Polynomfunktionen vom Grad n > 0 höchstens n Nullstellen haben können, erinnern wir uns, dass f(x) + c die Funktion f(x) um c in y-Richtung verschiebt und f(x-d) eine Verschiebung um d in x-Richtung bewirkt.

Für Polynomfunktionen, deren Graph durch den Ursprung verläuft, gilt: $\begin{eqnarray*} P_n(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und somit c = 0 sowie d = 0.

Ist Q(x) eine Polynomfunktion mit einer Nullstelle in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , gilt also $\begin{eqnarray*} Q(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} P(x) = Q(x+x_0) \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit einer Nullstelle in x = 0.

Damit ist das Polynom P(x) von der Form $\begin{eqnarray*} P(x) = Q(x + x_0) = x \cdot R(x) \end{eqnarray*}$ , wobei R(x) ein Polynom ist, dessen Grad um 1 kleiner ist als derjenige von Q.

Also gilt für das Polynom Q(x): $\begin{eqnarray*} Q(x) = P(x - x_0) = R(x) (x- x_0) \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} R(x) = \frac{P(x)}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R(x) = \frac{Q(x)}{(x-x_0)} \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt: Q(x) ist ohne Rest durch $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ teilbar und der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{Q(x)}{(x-x_0)} \end{eqnarray*}$ ist eine Polynomfunktion vom Grad n-1.

--> Ist da alles korrekt und kann man das so stehen lassen, oder würdet ihr etwas ergänzen / korrigieren?

19.11.2020, 14:57

mYthos

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Zitat:

Original von Thomas007
... dass f(x) + c die Funktion f(x) um c in y-Richtung verschiebt und f(x-d) eine Verschiebung um d in x-Richtung bewirkt.

Für Polynomfunktionen, deren Graph durch den Ursprung verläuft, gilt: $\begin{eqnarray*} P_n(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und somit c = 0 sowie d = 0.
...

d ist der Betrag der Verschiebung (= x0) und infolge dessen NICHT Null!

Alles andere stimmt so weit, es ist so, wie in den Beiträgen davor schon beschrieben.

mY+

20.11.2020, 05:55

Thomas007

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Uff stimmt, d muss nicht 0 sein.

Danke für die Korrektur! smile

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