Matrizenprodukt durch Addieren, Quadrieren, skalares Multiplizieren

16.11.2020, 02:24	Emy3	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenprodukt durch Addieren, Quadrieren, skalares Multiplizieren Meine Frage: Wie erhält man das Produkt zweier nxn-Matrizen, wenn man diese nur addieren, quadrieren und mit Skalaren multiplizieren darf? Meine Ideen: Mein Ansatz wäre sozusagen das Äquivalent der 1. binomischen Formel, von dem man dann noch die jeweiligen Quadrate subtrahiert (doch da die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist, kann das wohl nicht sein). Für zwei nxn-Matrizen A, B sähe das jedenfalls so aus: (A + B)² - (A² + B²) = AB + BA Allerdings fällt mir nicht ein, wie ich diese Summe aufspalten könnte. Im glücklichen Fall, dass AB = BA ist, kann man sie halbieren, aber ansonsten weiß ich nicht weiter.
16.11.2020, 05:50	Luftikus	Auf diesen Beitrag antworten »
(A+B)² = (A+B)(A+B)
16.11.2020, 06:17	Emy3	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, ausmultipliziert ist (A + B)² ja A² + AB + BA + B², und wenn man davon (A² + B²) subtrahiert erhält man AB + BA. Ich bin mir nicht sicher, ob das überhaupt der korrekte Ansatz ist, und eventuell gibt es Besonderheiten bei der Matrizenmultiplikation bezüglich Quadraten von Faktoren, die mir nicht einfallen oder die ich nicht kenne. Danke für die schnelle Antwort
16.11.2020, 06:25	Luftikus	Auf diesen Beitrag antworten »
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Matrizenring
16.11.2020, 07:09	Emy3	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich schätze meine Frage ist zu ungenau formuliert und kann verstehen, wenn die Intention dahinter nicht klar wird. Es geht darum, ob sich für nxn-Matrizen A, B das Produkt AB auch dann berechnen lässt, wenn die Multiplikation auf zwei gleiche Matrizen beschränkt ist, ergo A², B² und (A + B)² sind fair game, AB jedoch nicht. Jedenfalls habe ich eine (sehr umständliche) Vorgehensweise konstruiert, also heißt das wohl, das Thema ist fertig. Vielen Dank nochmals für die schnellen Antworten!
16.11.2020, 09:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Frage ist in Ordnung, Luftikus hat keine Antwort gegeben. Wenn du die zweite und dritte binomische Formel addierst, kommst du zum gewünschten Ergebnis. Nachtrag. Sorry, ich habe mich vertan. $\begin{eqnarray} (A+B)(A-B) \end{eqnarray}$ kann man ja auch nicht berechnen. Da muss ich wohl noch weiter suchen - oder du sagst uns, was du gemacht hast. Nachtrag. Ich komme nicht auf eine Lösung. Bitte hilf mir.
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