Herleitung der Spaltform einer Tangente am Kreis

16.11.2020, 12:30	dennis94__	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Spaltform einer Tangente am Kreis Meine Frage: Hallo ich versuche gerade eine Herleitung zur Spaltform einer Tangente nachzuvollziehen. Ab dem ersten Schritt bin ich leider ratlos. Wie kommt es zu dieser Umformung? Kann mich jemand aufklären? Meine Ideen: Mir ist klar, dass ((x-a).(a-m)) das Skalarprodukt von den beiden Vektoren ist und ich weiß auch, warum es null sein muss. Aber wie kommt man auf die darauffolgenden Schritte?
16.11.2020, 12:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann gleich 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander sind, d.h. wenn der Winkel zwischen den Vektoren ein rechter Winkel ist. x und a sind Punkte auf der Tangente, a und m sind Punkte auf dem Radius, Tangente und Radius sind senkrecht zueinander, also ist das Skalarprodukt gleich 0.
16.11.2020, 12:54	dennis94__	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das weiß ich. Aber wie kommt man von (x-a).(a-m) auf (x-m) - (a-m).(a-m) ?
16.11.2020, 14:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(x-m)-(a-m)=x-m-a+m=x-a, wie man auch am Dreieck m,a,x sieht. Du kannst auch den Vektor x-m einzeichnen, wenn es algebraisch nicht klar ist. (x-m)=(a-m)+(x-a) sieht man mittels Vektoraddition.
16.11.2020, 20:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachtet man das rechtwinkelige Dreieck AMX (mit MA = r), so folgt alleine schon mittels der Projektion des Vektors $\begin{eqnarray} \vec{MX} \end{eqnarray}$ auf den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{MA} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec a - \vec m) \cdot (\vec x - \vec m) = r^2 \end{eqnarray}$ [Betrag MA mal Länge der Projektion von MX auf MA = r²] (Da braucht es keine Kunstgriffe zur Umformung wie in dem Link) Das ist bereits die Vektorgleichung der Tangente; bringt man diese auf die Koordinatenform, so ist dies dann die sogenannte "Spaltformel". --------- Die Vektorgleichung der Tangente ist auch schon eine Spaltform (ausgehend von der Kreisgleichung): $\begin{eqnarray} (\vec x - \vec m)^2 = r^2 \end{eqnarray}$ .. Kreisgleichung $\begin{eqnarray} (\vec a - \vec m) \cdot (\vec x - \vec m) = r^2 \end{eqnarray}$ .. in einem Faktor wird $\begin{eqnarray} x \to a \end{eqnarray}$ mY+
17.11.2020, 10:59	dennis94__	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ihr habt mir sehr geholfen! Tut mir leid, wenn ich so auf dem Schlauch stand. Beweise im Unterricht sind ein bisschen ungewohnt. Aber jetzt hab ich's verstanden!
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