Logik

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Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »
Logik
Seien A und B Mengen bzgl. einer Grundmenge . Betrachten Sie die Aussage X, die gegeben sei durch ,,Falls , dann ''.

Welche der folgenden Aussagen sind nicht logisch äquivalent zu X.

a) Es gilt , falls .

b) Es gilt, falls .

c) Es gilt , falls .

d) Es gilt , falls .

e) Es gilt , falls .

Ideen:

Hat jemand eine Idee, wie ich diese Aussagen überprüfen kann. Vielen Dank im voraus.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Aussagen und sind genau dann logisch äquivalent, wenn die Aussage wahr ist. Man überprüft dies jeweils mittels einer Wahrheitstafel.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, meinen Sie, dass explizit in der Aufgabe als Beispiel meine Aussage jetzt wäre? Also:

a) :Es gilt , falls .

Oder muss ich die Aussage in in zwei Teilaussagen aufspalten?

Falls ja, das gleiche dann auch für die Aussage ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Aussage soweit in Teilaussagen zerlegen bis die Wahrheitstafel möglich ist. Ja, das ist Arbeit.
Geht es auch einfacher ? Ja, ein Genie sieht alles sofort und muss nicht arbeiten. Aber leider ist geniale Intuition kein Beweis. Augenzwinkern
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen: Ich hätte jetzt .

X_1|X_2|X_1 folgt x_2
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Und wenn ich das so gesehen mit dem Rest auch so mache, werde ich ja immer dieselbe Struktur haben. Könnten Sie mir vielleicht an einem Beispiel zeigen, wie ich da am besten anfange mit der Wahrheitstabelle?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage, auf die ich erst mal keine Antwort habe, also habe ich mich wahrscheinlich vertan.
Wikipedia sagt: Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen.
Die Aussage X ist wahr, also sind nach Wikipedia die Aussagen a) bis e) genau dann nicht logisch äquivalent zu X, wenn a) bis e) falsch sind.
Der Sinn der Aufgabe erschließt sich mir nicht so ganz, denn nun geht es ja nur um Wahrheit oder Falschheit von Aussagen der Mengenlehre.
Damit die Verwirrung noch etwas größer wird, ist X eine Implikation von links nach rechts (wenn, dann), die anderen Aussagen sind Implikationen, die von rechts nach links (dann, wenn) zu lesen sind.
 
 
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, heißt das, ich muss einfach überprüfen, welche Aussagen den Wahrheitswert f haben?

Da die Aussagen b),c),e) wahr sind, wäre die richtige Antwort: a) und d)

Ist das so korrekt? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

b) ist falsch. Also ist deine Antwort nicht korrekt. Selbst bei einfacher Mengenlehre muss man aufpassen.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Thema macht mich noch verrückt. traurig

Dann müsste man a), d) und b) ankreuzen, also wären das die richtigen Antworten oder? Idee! Buschmann

Nochmal zu b)


b) Es gilt doch falls





Müsste ich noch die andere Richtung zeigen oder würde das reichen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel (Bildchen): B liegt im Komplement von A, aber der Durchschnitt der Komplemente ist nicht leer. Also b) falsch. Mengenlehre=Bildchen machen (zwecks Schulung der Intuition) UND Beweise führen (weil Bildchen keine Beweise sind). Die anderen Aussagen habe ich mir gar nicht angesehen, ich habe nur festgestellt, dass du bei b) nicht korrekt geantwortet hast.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

a) An dieser Stelle würde ich sagen, dass die Aussage falsch ist, da B sogesehen im Komplement von A enthalten ist, daraus folgt, dass B und das Komplement von A gemeinsame Elemente haben, das heißt auch aber, dass die Menge nicht leer sein kann.

c) Diese Aussage ist richtig. Die Menge A stellt die Obermenge dar. Da sogesehen die Elemente von B alle in A enthalten sind, ist der Schnitt von A und B wieder B.

d) Diese Aussage ist falsch, da es Elemente im Komplement A sind, die nicht im Komplement von B drin sind.

[attach]52153[/attach]

e) Ist genauso falsch, siehe Zeichnung.

Ich hoffe, dass ich es diesmal richtig gemacht habe. Erstaunt2
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst an deiner Mengenlehre arbeiten und dabei zwei Fälle deutlich unterscheiden.
1. Wenn du beweisen willst, dass eine Aussage wahr ist, brauchst du einen strengen Beweis, weil die Aussage immer wahr sein soll, also für unendlich viele denkbare Mengen, die noch niemand gesehen hat (sowas wie unendliche Weiten bei Star Trek Augenzwinkern )
2. Wenn du beweisen willst, dass eine Aussage falsch ist, genügt ein Gegenbeispiel (deshalb habe ich mir den Beweis für b) falsch so leicht gemacht, ich habe einfach ein Gegenbeispiel angegeben).

Deine Begründung für a) falsch ist falsch.
Dass b) falsch ist wissen wir (siehe mein Gegenbeispiel)
Bei c) hast du einen Beweis gegeben, der meinen bescheidenen Ansprüchen gerade so genügt
Deine Begründung für d) falsch verstehe ich nicht, hier wäre ein Gegenbeispiel sinnvoll (Bildchen), bei dem B Teilmenge von A ist.
Ich vermute, dass e) wahr ist (Beweis ?)

(Ich hoffe, dass alles stimmt, was ich hier gesagt habe, doch bei der Überfülle von Informationen musst du jedenfalls alles solange nachprüfen, bis du sicher bist, dass alles okay ist. Also: siehe oben 1. und 2. )

Schulmathematik ist das aber nicht mehr, das artet ja richtig in Arbeit aus.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

So habe jetzt ein Erdbeershake getrunken und jetzt haue ich die Beweise raus. Bin jetzt motiviert. Prost

Beweise:

a)

Seien





Aber


d) Seien





Aber

e) Seien
Weiterhin gilt:



Es soll gelten:

Da in die Elemente von enthalten sind und durch die Differenzmenge so gesehen keine Elemente von B mehr drin sind.

Folgt daraus:

Zusammenfassend: a),b),d) falsch und c),e) richtig.

Ich hoffe, dass ich wieder kein Mist gebaut habe. :/
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenbeispiele sind in Ordnung. e) muss allgemein bewiesen werden, das genügt also noch nicht. Als Anerkennung für die Mühe gebe ich einen kleinen Beweis.
Wenn alle Elemente von A nicht in B liegen, dann ist der Durchschnitt von A und B leer. (Das geht auch noch formaler, aber mir gefällt es so, und wenn du es verstehst, dann sind wir fertig.)
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

b.)

code:
1:
2:
3:
4:
5:
 
 A B  ¦  (B -> ¬A) -> (¬A & ¬B)
  -----+-----------------------------------
  0 1  ¦     1     *0  1   1  0     
    


aus der Wahrheitstabelle genügt jene Zeile in welcher wahr ist weil &A wahr ist und B wahr ist. A,B sind hier keine logischen Variablen.
Insgesamt dann falsch wie das *0 andeutet.

"Logisch" - in der Frage - würde ich eher mit "demselben Wahrheitswert" beschreiben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit anderen Worten : Aussagenlogik und Mengenlehre sind isomorphe boolesche Verbände. Wir hätten also auch die erste Idee mit den Wahrheitstafeln weiter verfolgen können.
Danke Dopap, dass du die Teilmengenrelation als Subjunktion übersetzt hast. Wenn Jasminx3 Lust hat, kann sie die Aufgabe noch einmal bearbeiten.
Nachtrag : Ich habe die Wahrheitstafeln aufgestellt, und sie sehen richtig gut aus. Allerdings muss man Dopaps Aussage b) noch ergänzen um "", was logisch bedeutet "".
Bemerkenswert ist auch, dass alle wahren Aussagen paarweise logisch äquivalente Tautologien sind, die drei falschen Aussagen a), b) und d) dagegen sind paarweise nicht logisch äquivalent. (Es gibt nur eine Wahrheit und viele Lügen. Big Laugh )
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Das Anhängen von ändert nichts an der entscheidenden Zeile.
Hab's weggelassen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, aber die Lösung der Aufgabe durch die Wahrheitstafel wird durchsichtiger, wenn man die vollständigen Aussagen in die Kopfzeile schreibt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
2:
3:
4:
5:
A B  ¦  ((B  ->  ¬A)     ->     (¬A   &  ¬B))     <->    FALSUM
-----+----------------------------------------------------------------
0 1  ¦    1   1    1      0       1   0   0        *1      0  


ich krieg' einfach die Spalten nicht sauber hin, ewige Fummelei und da hilft auch kein
Courier new und auch nicht CODE /CODE ...
das sieht man beim Zitat deutlich

und Latex geht auch nicht seit \begin{tabular}{} nicht mehr funktioniert unglücklich

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meine einzige Chance, das sauber zu schreiben, ist die gute alte Handschrift. Um zu verdeutlichen, wo das Resultat steht, habe ich von 1/0 auf w/f umgeschaltet - it's not a bug, it's a feature.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Interpretieren wir die logische Äquivalenz dann immer noch nach dem Wahrheitswert, insofern die obige Aussage wahr ist, vergleicht man diesen Wahrheitswert und überprüft, ob die anderen Aussagen wahr sind. verwirrt

Wären dann immer noch a),b) und d) die richtigen Antworten, die man wählen würde, da die Aussagen alle falsch sind. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mengenlehre: X,c),e) haben wir bewiesen, sind also wahre Aussagen. Für a),b)d) haben wir Gegenbeispiele angegeben, sie sind also falsche Aussagen.

Logik: Die Wahrheitstafeln zu X,c),e) sind überall wahr, also logisch äquivalent. Die Wahrheitstafeln zu a),b),d) sind nicht überall wahr, also nicht äquivalent zu X.

Das Ergebnis der Mengenlehre stimmt genau mit dem Ergebnis der Logik überein, das war zu erwarten. In der Aufgabe war gefragt, welche Aussagen nicht äquivalent zu X sind, das sind in beiden Theorien die Aussagen a),b),d). Alles ganz einfach, nicht wahr ?
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh. Sorry. Idee!

Danke. Wink
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Hast du auch "wirklich" verstanden, wie die Aussagen der Mengenlehre und die Aussagen der Logik aufeinander bezogen sind ? Kannst du den Zusammenhang mit eigenen Worten erklären ? Dopap hat die Idee in den Raum geworfen, ich habe den Isomorphismus boolescher Verbände bemüht. Was steckt "wirklich" dahinter ? Bleibe kritisch, glaube nie, was du nicht verstanden hast !
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war mir nur etwas unschlüssig, da wir in der Vergangenheit bestimmte Gleichungen mit Wahrheitstafeln bewiesen haben und jede Spalte des linken Ausdrucks mit dem rechten Ausdruck verglichen haben und dann gesagt haben, dass wenn sie gleich sind, dass sie dann logisch äquivalent sind.

Hier habe ich außer Acht gelassen, dass die Hauptaussage allgemeingültig ist. Da die Hauptaussage wahr ist, muss man lediglich ja nur überprüfen, welche der anderen Aussagen allgemeingültig sind.

Inwieweit aber die Aussagen der Logik mit den Aussagen der Mengenlehre zusammenhängen, das kann ich leider nicht beantworten. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich mir gedacht, weil ich selbst auch etwas darüber nachdenken musste, bevor ich begriffen habe, was ich da eigentlich gemacht habe. Genau deshalb habe ich nachgefragt, denn ich will, dass du es auch verstehst.

Die Aussagen über Mengen, wie sie in der Aufgabe und in der oberen Zeile meiner Wahrheitstafeln stehen, dürften klar sein. In der Zeile darunter stehen logische Formeln, die ich mittels der Definitionen der Mengenlehre gewonnen habe, denn die Aussagen der Mengenlehre werden durch logische Aussagen definiert.

Beispiel .
Damit übersetzt sich die Mengenaussage , also in die Aussage .

Die logische Aussage bedeute , die logische Aussage bedeute .Wenn man noch bedenkt, dass kein in der leeren Menge liegt, kann man mit übersetzen.
Damit ist logisch äquivalent mit , und die Klammern habe ich weggelassen.
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