Beweis zur Polare mit Pol außerhalb des Kreises (Sekante)

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dennis94__ Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Polare mit Pol außerhalb des Kreises (Sekante)
Meine Frage:
Hallo,

ich suche nach jemandem ,der mir sagen kann, wie ich beweise, dass wenn der Pol ein äußerer Punkt vom Kreis ist, die Polare den Kreis zweimal schneidet.

Ich komme irgendwie absolut nicht drauf...



Meine Ideen:
Die Geradengleichung für die Polare ist
p_X(Y) = (x_1 - m_1)(y_1-m_1) + (x_2-m_2)(y_2-m_2) - r^2

Kann man irgendwie nach r^2 umstellen und die Gleichung in die Kreisgleichung einsetzten? Aber wie macht man das, unter der Voraussetzung, dass X größer als der Radius ist?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nach r² umstellen bringt nichts; man hat ja dann immer noch die beiden Variablen x und y in der Gleichung.
Vielmehr ist in der linearen Gleichung entweder x oder y frei zu stellen und dieses dann in die Kreisgleichung einzusetzen*
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Hast du dir zufällig diesen Beitrag angesehen (falls du nicht selber Tobi oder mit ihm bekannt bist)?

Wenn die Polare 2 Schnittpunkte mit dem Kreis (M;r) haben soll, dann muss ihr Abstand vom Kreismittelpunkt kleiner als r sein, davon gilt auch die Umkehrung: Jede Gerade im Abstand kleiner als r von M hat mit dem Kreis 2 Schnittpunkte.
Also berechnet man . Aus der geometrischen Anschauung (und M P_1 = R > r) folgt:
; der Bruch ist kleiner als 1, somit d < r

[attach]52158[/attach]

P1 und P2 gehen zueinander durch Inversion ("Spiegelung") am Kreis hervor.
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(*) Die Geradengleichung allgemein mit der Kreisgleichung nach den 2 Schnittpunkten aufzulösen, ist ein mühsames Unterfangen.
Es kommt letztendlich zu einer quadratischen Gleichung und man hat zu zeigen, dass deren Diskriminante größer als Null ist, falls P außerhalb des Kreises liegt,

mY+
dennis94__ Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Eine Frage hätte ich noch, du hattest das ja nur für den Einheitskreis gezeigt. Gibt es nicht auch eine allgemeine Lösung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht der Einheitskreis, sondern ein Kreis mit dem Radius r.
Und die Rechnung ist unabhängig von der Wahl des Mittelpunktes.

Du kannst auch die Skizze von deinem anderen Thema dahingehend so ergänzen, dass diese Gegebenheiten auch dort sichtbar werden.
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Ergänzung:

Die Vektorgleichung der Polaren ist - ebenso wie bei der Tangente - eine Spaltform (ausgehend von der Kreisgleichung):

.. Kreisgleichung

Projektion des Vektors auf den Vektor

[Betrag MA mal Länge der Projektion von MX auf MA = r²]

d .. Normalabstand der Polaren von M

(Kathetensatz)



mY+
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