Analytische Geometrie: Würfel schräg im Raum

17.11.2020, 20:46

Mathe-Lehrling

Analytische Geometrie: Würfel schräg im Raum

Meine Frage:
Hallo!
Ich bearbeite gerade eine Matheaufgabe, aber scheitere an einer Teilaufgabe.

Es wird wie folgt dargestellt:

Betrachtet wird ein Würfel mit A (0/0/0), B(3/-3/3), G(0/0/9) und H(-3/3/6).
Ermitteln Sie die Koordinate F.

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind:

1. da es ein Würfel ist, sind alle Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass die Strecke BF 3· Wurzel von 3 betragen muss. Ich habe nämlich die Länge von AB schon bestimmt die 3· Wurzel von 3 beträgt.

2. Muss BF orthogonal zu AB und FG sein, wodurch das Skalarprodukt null betragen muss.

Aber weiter komme ich nun auch nicht. Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann.

LG
Mathe- Lehrling

17.11.2020, 21:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} BCGF \end{align*}$ ist ein Quadrat. Dessen Mittelpunkt $\begin{align*} I \end{align*}$ läßt sich als Mitte der Strecke $\begin{align*} BG \end{align*}$ ermitteln. In einem Quadrat stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. Damit steht der Vektor $\begin{align*} \overrightarrow{CF} \end{align*}$ einerseits senkrecht auf $\begin{align*} \overrightarrow{BG} \end{align*}$ , andererseits senkrecht auf $\begin{align*} \overrightarrow{AB} \end{align*}$ , einem Normalenvektor der Ebene $\begin{align*} BCGF \end{align*}$ . Man kann daher den Vektor $\begin{align*} \overrightarrow{CF} \end{align*}$ finden, indem man zunächst das Vektorprodukt $\begin{align*} \overrightarrow{BG} \times \overrightarrow{AB} \end{align*}$ bestimmt und diesen Vektor dann so streckt, daß er dieselbe Länge wie $\begin{align*} \overrightarrow{BG} \end{align*}$ hat. Eventuell muß man noch eine Richtungsumkehr durchführen. Da würde ich mich an der Zeichnung orientieren. Die Hälfte von $\begin{align*} \overrightarrow{CF} \end{align*}$ , an $\begin{align*} I \end{align*}$ angesetzt, führt zu $\begin{align*} F \end{align*}$ .

17.11.2020, 22:45

Mathe-Lehrling

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend Leopold!

Erstmals vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Es hat alles Sinn ergeben!
Ich hab nun angefangen zu rechnen und mir ist beim Vektorprodukt etwas Fragwürdiges rausgekommen.
Nämlich (-27/-27/0). Ich weiß, dass ich die Länge anpassen kann, aber das was ich merkwürdig finde, ist, dass z gleich 0 ist, was aber nicht sein kann, wenn ich mir so die Zeichnung angucke. Für BG habe ich (-3/3/6) und AB (3/-3/3). Mit einem CAS Rechner habe ich das auch nochmal ausgerechnet und es kommt auf das gleiche hinaus.

LG

Mathe-Lehrling

18.11.2020, 02:28

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur ein kurzer Einwurf:

@Mathe-Lehrling, Deine Vektoren sind richtig; ich habe mitgerechnet und den Würfel auch mit einem CAD-Programm gezeichnet und kontrolliert. Der Vektor aus dem Vektorprodukt ist tatsächlich parallel zur xy-Ebene.
Bei Schrägansichten kann man sich manchmal täuschen.

18.11.2020, 08:30

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Nimmt man für den Einheitswürfel $\begin{align*} A'B'C'D'E'F'G'H' \end{align*}$ die folgende kanonische Darstellung im I. Oktanten:

$\begin{align*} \begin{matrix} A' = (0,0,0) \, , & & B' = (1,0,0) \, , & & C' = (1,1,0) \, , & & D' = (0,1,0) \\ E' = (0,0,1) \, , & & F' = (1,0,1) \, , & & G' = (1,1,1) \, , & & H' = (0,1,1) \end{matrix} \end{align*}$

so kann man ihn mit Hilfe der orthogonalen Matrix

$\begin{align*} T = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix} \end{align*}$

und einer Streckung mit dem Faktor $\begin{align*} 3 \sqrt{3} \end{align*}$ auf den Würfel $\begin{align*} ABCDEFGH \end{align*}$ abbilden:

$\begin{align*} X' \mapsto X \ \ \text{mit} \ \ X = 3 \sqrt{3} \, T \cdot X' \end{align*}$

Für $\begin{align*} X \end{align*}$ und $\begin{align*} X' \end{align*}$ nimmt man die Ortsvektoren der Punkte in Spaltenschreibweise.

18.11.2020, 08:41

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Analytische Geometrie: Würfel schräg im Raum
Es waren also alle 4 Eckpunkte des diagonal liegenden Rechtecks gegeben. Siehe auch hier.

18.11.2020, 13:42

Mathe-Lehrling

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Analytische Geometrie: Würfel schräg im Raum
Hallo!
Ich wollte mich bedanken und sagen, dass alle Beiträge eine große Hilfe waren!
Mir ist nun eine Sache offen geblieben. Ich habe den Normalenvektor CF nun so angepasst, dass die Länge stimmt, aber habe natürlich 2 Vektoren rausbekommen. Der Betrag ist derselbe, aber die Vorzeichen sind unterschiedlich. Ich habe mit beiden Varianten weitergerechnet und bin somit auf 2 Punkte gekommen. Nun weiß ich nicht welcher richtig ist.
Als Normalenvektor habe ich einmal (3 Mal Wurzel von 3 / 3 Mal Wurzel von 3/0) und dafür habe ich den Punkt, der ist gerundet, (4,1/1,1/6) bekommen.
Der andere Normalenvektor hat nur den Unterschied, dass die x und y Koordinate negativ sind. Dafür habe ich den Punkt (-1,1/-4,1/6) bekommen.
Wie kann ich überprüfen welcher nun richtig ist?

LG
Mathe-Lehrling

18.11.2020, 14:57

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
...
Eventuell muß man noch eine Richtungsumkehr durchführen. Da würde ich mich an der Zeichnung orientieren.
...

Oder:
Für das Vekorprodukt gilt (in einem Rechts-Koordinatensystem) die Rechtsschraubregel.
Wenn man den Vektor BG im math. positven Umlaufsinn (wie die x-Achse in die y-Achse) in AB hineindreht*, in welche Richtung zeigt dann die Schraube hin?
Diese ist auch jene des Vekorprodukts.
Richtig, in der Skizze nach oben, also auch dorthin, wo sich F befinden soll ...

(*) AB in B ansetzen (oder BG in A), damit die Vektoren von einem Punkt ausgehen!

mY+

18.11.2020, 16:44

Mathe-Lehrling

Auf diesen Beitrag antworten »

18.11.2020, 16:45

Mathe-Lehrling

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Danke! Ich hab es jetzt vollständig verstanden!

LG

Mathe-Lehrling

Neue Frage »

Antworten »

Analytische Geometrie: Würfel schräg im Raum

Verwandte Themen