Injektivität/Surjektivität von Polynomabbildungen

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Toast_. Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität/Surjektivität von Polynomabbildungen
Meine Frage:
Hey,
ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:

Sei Zeige oder wiederlege:
Es existiert ein A s.d.

i) injektiv ist
ii) surjektiv ist

Meine Ideen:
Bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabenstellung richtig verstehe. Das Thema Polynome fällt mir noch schwer. Wenn ich das richtig verstehe nimmt ja f ein Polynom und bildet es auf eine Matrix ab. Also müsste es nicht injektiv sein wenn ich einfach ein Konstantes Polynom nehme also z.B. p(x) = 3. Dann würde ja für jedes A die Matrix 3E rauskommen. Verstehe ich das richtig?
Würde fast sagen es ist surjektiv. Am Beweis happert es noch. Mir geht es aber auch mehr darum ob ich die Aufgabenstellung überhaupt richtig verstanden habe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst nicht ein bestimmtes Polynom nehmen, du musst alle Polynome durch auf Matrizen abbilden. Variabel ist , d.h. zum Verständnis der Abbildungen kannst du ein paar Beispiele mit unterschiedlichen Matrizen untersuchen.
Toast._ Auf diesen Beitrag antworten »

Achso also wenn f injektiv ist dann müsste für ein A gelten:

?

Nach etwas rumprobieren denke ich f ist doch injektiv. Ich versuche es durch Wiederspruch zu beweisen komme da aber nicht wirklich weiter:

Sei dann gilt ja:



Dann müsste doch gelten das p=q ist. Nur wie könnte ich das weiter umformen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht raten, sondern rechnen. Mach drei Beispiele mit verschiedenen 2x2- und 3x3-Matrizen über den reellen Zahlen und endlichen Körpern. Die Summen gehen immer bis n, ein Index m hat da nichts zu suchen.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werfe in Sachen Injektivität Cayley-Hamilton in den Raum
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