Umwandlung rekursive in explizite Form

18.11.2020, 11:42	Peter1515	Auf diesen Beitrag antworten »
Umwandlung rekursive in explizite Form Meine Frage: Hallo erstmal! Ich habe die Rekursive Folge an+1=an(2-an) gegeben, wobei a1 echt zwischen 0 und 1 liegt und muss diese in expliziter Form darstellen. Meine Ideen: Meine Idee war erstmal für diskrete a1 explizite Folgen zu finden. Bei a=0,5 ist das z.B ((2^n^2)-1)/2^n^2. Jedoch konnte ich das noch nicht für beliebige a1 umformen. Gibt es dazu Lösungsvorschläge? Viele Dank schon im Voraus!
18.11.2020, 19:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
WolframAlpha findet $\begin{eqnarray} a_n = 1 - e^{c \cdot 2^n} \end{eqnarray}$ ========== Mit $\begin{eqnarray} c = - \frac {\ln 2} 2 \end{eqnarray}$ ergibt sich deine Folge mit $\begin{eqnarray} a_1 = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ Wie man dazu kommt, nun ja, da bedarf es einer gesonderten Recherche; vielleicht hat ja hier noch jemand eine Idee ... Möglich wäre ein Ansatz mit charakteristischen Polynomen, wie es in einfacheren Fällen ja schon funktioniert. mY+
18.11.2020, 19:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{n+1}=a_n(2-a_n)=-(a_n-1)^2+1 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} b_n:=a_n-1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} b_{n+1}=-b_n^2 \end{eqnarray}$
18.11.2020, 20:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch deutlicher ist Substitution $\begin{eqnarray} c_n:=1-a_n \end{eqnarray}$ mit dann $\begin{eqnarray} c_{n+1}=c_n^2 \end{eqnarray}$ , aus welcher unmittelbar die explizite Darstellung $\begin{eqnarray} c_n = c_1^{2^{n-1}} \end{eqnarray}$ folgt, rücksubstituiert $\begin{eqnarray} a_n = 1-(1-a_1)^{2^{n-1}} \end{eqnarray}$ .
18.11.2020, 22:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das ist weniger komplex, als gedacht. Dass es nicht bei der e-Funktion bleiben muss, ist auch klar, denn $\begin{eqnarray} e^{c_1} \end{eqnarray}$ kann einfach durch $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ersetzt werden. Setzt man nun $\begin{eqnarray} (1 - a_1)^{\frac 1 2} = c \end{eqnarray}$ , ergibt sich letztendlich auch die angegebene allgemeine Lösung $\begin{eqnarray} a_n = 1 - c^{2^n} \end{eqnarray}$ mY+

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