1000^n + 1 teilt 2020^n - 1 nicht

18.11.2020, 20:50

peter42

1000^n + 1 teilt 2020^n - 1 nicht

Meine Frage:
Zeige, dass 1000^n + 1 für jede natürliche Zahl n kein Teiler von 2020^n - 1 ist.

Meine Ideen:
Ich habe bisher versucht mit Restklassen zu arbeiten und zu zeigen, dass 1000^n + 1 durch eine Zahl teilbar ist, durch die 2020^n - 1 nicht teilbar ist. Allerdings ist das nicht so leicht wie gedacht, bzw. für ungerade n kann ich es zeigen (mod 13) aber eben nicht so einfach für gerade. Als ich für gerade n weitergesucht habe, hat sich angedeutet, dass es für nicht durch vier teilbare n machbar ist, aber für durch vier teilbare n erstmal nicht. Irgendwie habe ich den Verdacht, dass das so weitergeht, was dann nicht so richtig zielführend ist. Ich habe allerdings keine andere Idee, wo man ansetzten könnte. Kann mir jemand helfen, über jeden Tipp freue ich mich sehr!!! Vielen Dank!

18.11.2020, 21:07

HAL 9000

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Nur mal ein bisschen Brainstorming (keine Ahnung, ob das was bringt):

Es ist $\begin{eqnarray*} 1000^n+1 = 10^{3n}+1 = \left(10^n+1\right)\left(10^{2n}-10^n+1\right) \end{eqnarray*}$ , und es ist $\begin{eqnarray*} \left(10^n+1\right) \end{eqnarray*}$ genau dann ein Teiler von $\begin{eqnarray*} \left(2020^n-1\right) \end{eqnarray*}$ , wenn es auch ein Teiler von

$\begin{eqnarray*} 202^n\left(10^n+1\right) - \left(2020^n-1\right) = 202^n+1 \end{eqnarray*}$

ist.

18.11.2020, 21:30

Helferlein

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Hinweis für weitere Helfer: Dieselbe Anfrage steht schon seit zwei Tagen in einem anderen Forum, bisher allerdings ohne Antwort.

18.11.2020, 22:13

HAL 9000

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Ok, ich hab es: Sei $\begin{eqnarray*} a=1000^n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2020^n-1 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist, dann muss es auch ein Teiler von

$\begin{eqnarray*} 101^n\cdot a - 50^n\cdot b = 101^n + 50^n \end{eqnarray*}$

sein. Nun ist aber offensichtlich für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0 < 101^n + 50^n < 1000^n+1 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

20.11.2020, 07:26

peter_42

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Erst einmal vielen Dank!!! Bei deiner Lösung ist mir noch nicht ganz klar, wie du auf diesen Term kommst, den a teilen muss. Wieso muss a den Term 101^n*a-50^n*b teilen?
PS: Sorry, dass ich mich heute erst wieder melde!

20.11.2020, 07:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von peter_42
Wieso muss a den Term 101^n*a-50^n*b teilen?

Das ist nicht dein Ernst, oder? Das sind Basisregeln zur Teilbarkeit!!! Nach dem Eröffnungsbeitrag mit der tollen Idee modulo 13 ist das eine schwere Enttäuschung für mich, ich hatte da gedacht, du hast mehr auf der Pfanne...

Aber gut, mal ausführlich: Unter der Annahme $\begin{eqnarray*} a\mid b \end{eqnarray*}$ gibt es ein ganzzahliges $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b=ka \end{eqnarray*}$ , folglich ist

$\begin{eqnarray*} 101^n\cdot a - 50^n\cdot b = \left(101^n - 50^n\cdot k\right)\cdot a \end{eqnarray*}$

und damit durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ teilbar.

Zitat:

Original von peter_42
Bei deiner Lösung ist mir noch nicht ganz klar, wie du auf diesen Term kommst, den a teilen muss.

Die Idee der Konstruktion ist natürlich, die große Zahl $\begin{eqnarray*} 2020^n \end{eqnarray*}$ "auszulöschen", was mit dieser Maßnahme dann ja auch klappt.

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