O-Notation

18.11.2020, 21:56	AnnaMarie99	Auf diesen Beitrag antworten »
O-Notation Meine Frage: Hallo, ich stehe vor folgender Aufgabe: ist $\begin{eqnarray} f \in O(1/n^2) \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} (1-a/n+ f)^(-1) \in 1 + a/n + O(1/n^2) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bis jetzt habe ich nur, dass durch die Voraussetzung ein C existiert mit $\begin{eqnarray} \|f(x)\| \leq Ca/n^2 \end{eqnarray}$ . Aber wie kann Ich das sinnvoll benutzen? Vielen Dank schonmal im voraus!
18.11.2020, 22:14	AnnaMarie99	Auf diesen Beitrag antworten »
soll natürlich $\begin{eqnarray} (1 - a/n+f)^{-1} \in 1 + a/n + O(1/n^2) \end{eqnarray}$ heißen...
18.11.2020, 22:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na rechne doch einfach mal die Differenz aus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\frac{a}{n}+f} - \left(1+\frac{a}{n}\right) = \frac{1-\left(1-\frac{a}{n}+f\right)\left(1+\frac{a}{n}\right)}{1-\frac{a}{n}+f} = \frac{\frac{a^2}{n^2}-f+\frac{a}{n}f}{1-\frac{a}{n}+f} \end{eqnarray}$ Der Zähler ist offenbar $\begin{eqnarray} O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ , während der Nenner gegen 1 konvergiert.

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