Polynom bestimmen

18.11.2020, 22:52	Polynom_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom bestimmen Meine Frage: Zu einer stetigen FUnktion f:[a,b]->IR definiert man g:[0,1]->IR mit g(x) = f(a+x(b-a))-f(a). Nun soll ich dazu ein Polynom P(x)=rx^2+px+q höchstens zweiten Grades bestimmten so, dass folgendes gilt: P(0)=g(0), P(1/2)=g(1/2) und P(1)=g(1). Meine Ideen: Ich habe es über ein Gleichungssystem versucht, bin aber nicht weitergekommen. Kann mir jemand bei der Lösung helfen. Ich würde mich sehr darüber freuen.
18.11.2020, 23:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib doch mal dein Gleichungssystem hier auf. Es handelt sich um ein lineares System, bei dem eine Gleichung direkt eine der drei gesuchten Variable bestimmt.
18.11.2020, 23:29	Polynom_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendes ist gegeben: g(x) = f(a+x(b-a)) - f(a) P(x) = rx^2 + px + q P(0) = g(0) P(1/2) = g(1/2) P(1) = g(1) Ich habe dann folgendes Gleichungssystem aufgestellt: I. P(0) = 0 + 0 + q = 0 = g(0) -> das heißt hier kann ich schon ablesen, dass q = 0 sein muss II. P(1/2) = 1/4 r + 1/2 p = g(1/2) = f(a+b/2) - f(a) III. P(1) = r + q = g(1) = f(b) - f(a) Hast du einen Tip für mich, wie ich jetzt weiter machen muss?
18.11.2020, 23:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das lineare Gleichungssystem ist schon der richtige Weg. Wo liegen die Schwierigkeiten? Da die Funktion f nicht näher bekannt ist, bleiben die Terme f(a), f(b), .. einfach stehen. Berechne zuerst p(0) = q, p(1/2) = r/4 + p/2 + q und p(1) = r + p + q und setze diese Werte nacheinander gleich g(0), g(1/2) und g(1) Damit entsteht ein lGS mit 3 Gleichungen. Die erste Gleichung schreibe ich für dich auf, die anderen beiden mit Lücken, den Rest kannst du dann sicher selber: (1) p(0) = q; g(0) = f(a) - f(a) = 0 --> q = 0 Die anderen beiden Gleichungen kannst du bereits ohne q anschreiben, denn q ist gleich Null. (2) p(1/2) = ...; g(1/2) = ... (3) p(1) = r + p; g(1) = ..... = f(b) - f(a) --> r + p = f(b) - f(a) mY+
18.11.2020, 23:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzten 2 Beiträge sind erst hinzugekommen, während ich an meinem noch geschrieben habe. Leider. mY+ Helferlein: Dein Thread! EDIT: Er ist offensichtlich OFF @Polynom_15: Deine Gleichungen sind richtig! Löse die beiden letzten am Besten mittels Eliminationsverfahrens. Wenn du eine Gleichung mit 2 multiplizierst und diese von der anderen subtrahierst, bleib nur noch eine Variable stehen. Geht's jetzt? mY+
18.11.2020, 23:47	Polynom_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dann war ich ja scho auf dem richtigen Weg. Aber dein Beitrag hat mir trotzdem sehr geholfen. Vor allem der satz, dass die Ausdürcke, die von der Funktion abhängig sind, stehen bleiben. Das heißt, dass ich mir nur noch die letzten beiden Gleichungen anschauen muss und nach dem Polynomkoeffizienten umstellen muss?
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18.11.2020, 23:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Siehe meinen vorigen Beitrag. Wenn ich mich nicht verrechne habe, ist p = 4f(a+b) - 3f(a) - f(b), r = 2f(a) - 4f((a+b)/2) + 2f(b) mY+
19.11.2020, 10:00	Polynom_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe es auch durchgerechnet und komme auf die gleichen Lösungen für r und p. Ich hätte noch eine kleine Frage zum Vorgehen. Und zwar soll ich folgende Näherung in Abhängigkeit von dem Polynom bestimmen. ( $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! g(x) \, dx \approx \int_{0}^{1} \! P(x) \, dx =\left[\frac{r}{3}x^3 + \frac{p}{2}x^2+qx \right] \end{eqnarray}$ Das heißt das ich dann das so eben berechnete Polynom und die Funktion einsetzen muss und dann umstellen muss?

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