Nachweis einer Konstanten

19.11.2020, 15:40

MMchen60

Nachweis einer Konstanten

Hallo zusammen,
ich soll beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} C_n=\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2n \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für alle positiven natürlichen Zahlen gilt. Ich soll hierzu die Auflösung des Binomialkoeffizienten verwenden. Habe ich gemacht, vereinfacht und zusammengefasst und komme zu folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} C_n=\frac {(2n)! \cdot ((n+1)! \cdot (n-1)!-n! \cdot n!)}{n!\cdot n! \cdot (n+1)! \cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$ .
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter, wie auflösen. Aber vielleicht habe ich mich auch in den falschen Weg verrannt?

19.11.2020, 15:48

Elvis

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Was willst du beweisen?

19.11.2020, 15:51

MMchen60

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Nachweis einer Konstanten
Das die sich daraus ergebende Zahl eine positive natürliche Zahl ist. Mit anderen Worten, der Nenner muss 1 werden.

19.11.2020, 15:53

HAL 9000

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MMchen60 hat wohl "vergessen" zu erwähnen, dass mit $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Catalan-Zahl gemeint ist. Ob es da was zu beweisen gibt hängt davon ab, wie man diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Catalan-Zahl definiert: Geschieht das so wie im Wiki-Beitrag $\begin{eqnarray*} C_n := \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ , dann ist das hier schon eine echte Aufgabe. Augenzwinkern

19.11.2020, 16:37

MMchen60

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Nachweis einer Konstanten
Ja, danke HAL900, steht wirklich so in der Aufgabe, Catalan-Zahl.
Ich sollte also nachweisen, dass die n-te Catalan-Zahl
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{n+1} \cdot \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2n \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine positive natürlich Zahl ist?

19.11.2020, 17:17

Steffen Bühler

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RE: Nachweis einer Konstanten
Ich hab mal was probiert.

$\begin{eqnarray*} \binom {2n} n - \binom {2n} {n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {(2n)!}{n! \cdot n!} - \frac {(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {(2n)!}{n! \cdot n!} - \frac {(2n)! \cdot \frac n{n+1}}{n! \cdot n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(2n)! \cdot \frac {1- \frac n{n+1}}{n! \cdot n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(2n)! \cdot \frac {\frac 1{n+1}}{n! \cdot n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {(2n)!}{n! \cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot 2n}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n ) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \cdot (n+1) )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {(n+2) \cdot (n+3) \cdot (n+4) \cdot \dots \cdot (2n-4) \cdot (2n-3) \cdot (2n-2) \cdot (2n-1) \cdot 2n }{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-4) \cdot (n-3) \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n } \end{eqnarray*}$

Nun müsste nur noch gezeigt werden, dass zu jedem Faktor unten ein Faktor oben gehört, der genau das Doppelte beträgt. Man findet zu n unten ein 2n oben, man findet zu n-1 unten ein 2n-2 oben und so weiter.

Viele Grüße
Steffen

EDIT: Typos korrigiert.

19.11.2020, 17:23

HAL 9000

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Mir ist nicht so ganz klar, was du hier nachweisen willst:

Ich hatte angenommen, dass es schlicht um den Nachweis von $\begin{eqnarray*} \binom {2n} n - \binom {2n} {n+1} = \frac{1}{n+1} \binom {2n} n \end{eqnarray*}$ gehen soll, mehr nicht.

Dass diese Zahl ganzzahlig ist, folgt eh aus der (etwa mit dem Pascalschen Dreieck beweisbaren) Eigenschaft, dass alle Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{m}{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\geq k\geq 0 \end{eqnarray*}$ positiv ganzzahlig sind. Augenzwinkern

19.11.2020, 17:54

Nils Hoppenstedt

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RE: Nachweis einer Konstanten

Zitat:

Original von MMchen60
Hallo zusammen,
ich soll beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} C_n=\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2n \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für alle positiven natürlichen Zahlen gilt. Ich soll hierzu die Auflösung des Binomialkoeffizienten verwenden. Habe ich gemacht, vereinfacht und zusammengefasst und komme zu folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} C_n=\frac {(2n)! \cdot ((n+1)! \cdot (n-1)!-n! \cdot n!)}{n!\cdot n! \cdot (n+1)! \cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$ .
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter, wie auflösen. Aber vielleicht habe ich mich auch in den falschen Weg verrannt?

Fall es um den Nachweis des von HAL 9000 genannten Ausdrucks geht, dann hast du es beim Nenner etwas übertrieben. Ein kleinerer gemeinsamer Nenner wäre etwa n! n! (n+1), denn es gilt ja z.B.: (n+1)! = n! (n+1). Versuch mal damit.

Viele Grüße,
Nils

20.11.2020, 07:20

MMchen60

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RE: Nachweis einer Konstanten

Zitat:

Original von Nils Hoppenstedt
Fall es um den Nachweis des von HAL 9000 genannten Ausdrucks geht....
Nils

Hallo ja geht es. Und HALs Hinweis auf das Pascalsche Dreieck ist ja eigentlich der Beweis. Man soll hier bestimmt nicht ausmultiplizieren oder auflösen. Es soll ja nur nachgewiesen werden, dass das Ergebnis eine positive natürliche Zahl sein soll. Und da ist es ja so, dass bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wegen 2n immer eine gerade Zahl entsteht und damit gem. Pascalschem Dreieck das Ergebnis des Binomialkoeffizienten in der Mitte steht und die höchste Zahl darstellt. Somit ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2n \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Zahl im Pascalschen Dreieck die eine Stelle weiter rechts steht und die ist immer kleiner als die Zahl in der Mitte. Damit ist dem Beweis Genüge getan.
Wäre schön, wenn mir jemand diesen Beweisgang bestätigen könnte, danke an alle.
MMchen

20.11.2020, 11:32

Nils Hoppenstedt

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RE: Nachweis einer Konstanten

Zitat:

[i]Hallo ja geht es. Und HALs Hinweis auf das Pascalsche Dreieck ist ja eigentlich der Beweis. Man soll hier bestimmt nicht ausmultiplizieren oder auflösen. Es soll ja nur nachgewiesen werden, dass das Ergebnis eine positive natürliche Zahl sein soll.

Der erste Satz widerspricht dem letzten. Also nochmal konkret: Was willst du beweisen? Das hier:

$\begin{eqnarray*} \binom {2n} n - \binom {2n} {n+1} = \frac{1}{n+1} \binom {2n} n \end{eqnarray*}$

Oder das hier:

$\begin{eqnarray*} \binom {2n} n - \binom {2n} {n+1} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das ist ja wohl nicht das selbe. Falls es wirklich um den unteren Ausdruck geht, dann ist deine Argumentation mit dem Pascalschen Dreieck richtig - und eigentlich trivial. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das wirklich die Aufgabe gewesen sein soll. Aber gut, du musst es wissen.

Viele Grüße,
Nils

20.11.2020, 11:58

HAL 9000

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Ich würde so argumentieren:

1) Über die Darstellung $\begin{eqnarray*} C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist, da beide Binomialkoeffizienten ganze Zahlen sind.
2) Über die andere Darstellung $\begin{eqnarray*} C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ folgt hingegen, dass $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ positiv ist, weil der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ positiv ist.

Aus 1)+2) folgt, dass $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ positiv ganzzahlig ist. Natürlich muss man dazu die Identität beider Darstellungen beweisen.

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