Untergruppenbeweis

20.11.2020, 14:07	RazerKing	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppenbeweis Meine Frage: Hallo an alle, ich habe folgende Frage bezüglich eines Untergruppenbeweises: Sei G = $\begin{eqnarray} \mathbb R \times \mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ Grupe mit der Verknüpfung (t,a) o (s,b) := (t+as,ab) Prüfe ob folgende Gruppe H eine Untergruppe von G ist. H:= {(x,y) ? $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ \|x $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0 und y >0} Meine Ideen: Drei Dinge zu prüfen: 1. $\begin{eqnarray} H \neq \end{eqnarray}$ {} Beweis: Da bsp. (0,1) ? H gilt, dass $\begin{eqnarray} H \neq \end{eqnarray}$ {} 2. $\begin{eqnarray} \forall g\in H \exists g^{-1}\in H \end{eqnarray}$ Und hier kommt meine Frage: Was ist das gesuchte Inverse? Weil zu der Gruppe H ist keine Verknüpfung angegeben. Ist es das gesuchte Inverse bezüglich der Verknüpfung von G, also o? 3. $\begin{eqnarray} g,h\in H \end{eqnarray}$ => g o h $\begin{eqnarray} \in H \end{eqnarray}$ Seien g,h ? H, mit g = (x,y) und h = (a,b) wobei x,a >= 0 und y,b > 0, dann gilt: g o h = (x,y) o (a,b) = (x+ya,yb) Da y > 0, a >=0 gilt ay >= 0. Da x >=0 und ay >=0, gilt x+ay >=0 Da y,b > 0, gilt yb > 0 => (x+ya,yb)?H => g o h ? H Hoffe meine Frage klärt sich bezügliches des gesuchten Inversen.
20.11.2020, 14:10	RazerKing	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: H ist nicht als Gruppe definiert, sonder als Menge Edit 2: Die ? stehen für das Elementzeichen $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$
20.11.2020, 14:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist G eine Gruppe ? Assoziativ bewiesen ? Was ist das neutrale Element von G ? Wenn G eine Gruppe ist, dann existiert zu jedem g in G ein inverses Element. Welches ist das ? Für g in H muss genau dieses in H liegen, damit 2. gilt.
20.11.2020, 14:42	RazerKing	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja G ist eine Gruppe (habe ich irgendwo oben erwähnt). Das inverse Element für alle Elemente in G ist folgendes: Sei g = (x,y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G, dann ist das Inverse von g folgendes: (x,y)^(-1) = $\begin{eqnarray} \left(-\frac{x}{y},\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray}$ , denn es gilt: (x,y) o (x,y)^(-1) = $\begin{eqnarray} \left(x+y\cdot \frac{-x}{y},y\cdot \frac{1}{y} \right) \end{eqnarray}$ = (0,1) = eG wobei eG das neutrale Element von G ist. Heißt das, dass (x,y)^(-1) = $\begin{eqnarray} \left(-\frac{x}{y},\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray}$ in H sein muss? Und ich denke $\begin{eqnarray} \left(-\frac{x}{y},\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray}$ ist kein Element von H, da $\begin{eqnarray} \frac{-x}{y} \geq 0 \end{eqnarray}$ nicht gilt.
20.11.2020, 16:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so. Also H keine Untergruppe von G.
20.11.2020, 16:15	RazerKing	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, ich danke Ihnen für die Hilfe. Das mit dem Inversen war etwas undeutlich, aber jetzt ist es klar. Dankeschön!
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20.11.2020, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur weiteren Verdeutlichung: Gäbe es zu einem $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ ein inverses Element $\begin{eqnarray} g^{-1} \in G \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} h^{-1}\in H \end{eqnarray}$ , dann wäre $\begin{eqnarray} e=gh^{-1}=g^{-1}g \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} g^{-1}=g^{-1}e=g^{-1}(gh^{-1})=(g^{-1}g)h^{-1}=eh^{-1}=h^{-1} \end{eqnarray}$ . Das beweist: In einer Gruppe gibt es zu jedem Element genau ein inverses Element.

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