Abschätzung der Faltung

20.11.2020, 15:43

asd123

Abschätzung der Faltung

[attach]52172[/attach]

Stimmt diese Aussage überhaupt?

Es gilt $\begin{eqnarray*} (F\ast G)(x)=\int F(x-y)G(y)dy \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sonst.
Dann ist die zu beweisende Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ ja

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{x}G(y)dy\leq G(x) \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite ist beschränkt, die linke Seite divergiert.

20.11.2020, 15:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von asd123
Es gilt $\begin{eqnarray*} (F\ast G)(x)=\int F(x-y)G(y)dy \end{eqnarray*}$

Da liegst du schon falsch - anscheinend verwechselst du das Faltungsintegral für Dichten mit dem von Verteilungsfunktionen: Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} (F*G)(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(x-y) ~ \dd G(y)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

was z.B. für absolutstetige Verteilungen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} (F*G)(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(x-y)G'(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

bedeutet, aber (*) ist natürlich auch für andere $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erklärt. Da im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} F,G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ eingeschränkt sind, kann man (*) für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ auch gleich als

$\begin{eqnarray*} (F*G)(x) = \int\limits_0^x F(x-y) ~ \dd G(y) \end{eqnarray*}$

schreiben.

21.11.2020, 09:10

asd123

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Ist im Punkt b) einfach nur gemeint
$\begin{eqnarray*} P(X+Y\leq x) \leq P(X\leq x)P(Y\leq x) \end{eqnarray*}$
?

Wie schätze ich denn in a) das Faltungsintegral ab, damit ich auf die gewünschte Ungleichung komme? Ich weiß, dass Verteilungsfunktionen nicht größer als 1 werden, aber hilft das hier weiter?

21.11.2020, 09:43

HAL 9000

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Wie wäre es mit "Monotonie"? Aufgrund der Monotonie von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} F(x-y)\leq F(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ , und daher auch

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^x F(x-y) ~ \dd G(y) \leq \int\limits_0^x F(x) ~ \dd G(y) = F(x)\cdot \int\limits_0^x ~ \dd G(y) = F(x)\cdot G(x) \end{eqnarray*}$

21.11.2020, 10:27

asd123

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Achso ja stimmt Hammer

Verwendest du beim letzten = Zeichen, dass G(0)=0?

Stimmt mein Teil für b), also für die probabilistische Methode?

Und in c) hat man dann einfach $\begin{eqnarray*} (F(x))^n \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2020, 10:36

HAL 9000

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Dreimal Ja.

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