Beweis einer Summenformel

21.11.2020, 20:21

ShrewdLuke

Beweis einer Summenformel

Meine Frage:
Moin, ich habe zu einer Aufgabe die ich Zwecks einer Übung lösen soll mehrere Fragen.

Die Aufgabe lautet: Folgern Sie heraus, dass für $\begin{eqnarray*} \:\forall n \in N und\: \forall q \in R \setminus1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^n-w^n = (z-w) \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k}*w^k \end{eqnarray*}$

Ich habe es mit der vollständigen Induktion probiert hänge aber bei dem Induktionsschluss fest. Ich bekomme einfach nicht das richtige Ergebnis bzw. den Beweis hin.

Habe ich etwas falsch gemacht? Ist es der falsche Ansatz?

Danke euch!

Meine Ideen:
Das ist meine Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} z^{n-k}*w^k = \frac{z^{n+1}-w^{n+1}}{z-w} \end{eqnarray*}$

Und das ist der Ansatz für meinen Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \frac{z^n-w^n}{z-w} + z^{-1} * w^{n+1} \end{eqnarray*}$

21.11.2020, 20:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von ShrewdLuke
Folgern Sie heraus, dass für $\begin{eqnarray*} \:\forall n \in N und\: \forall {\color{red}q} \in R \setminus1: \end{eqnarray*}$

Da es in der nachfolgenden Aussage überhaupt nicht um $\begin{eqnarray*} {\color{red}q} \end{eqnarray*}$ geht, hast du hier wohl irgendwelche Zeilen verpuzzelt. unglücklich

21.11.2020, 20:41

IfindU

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@Hal: Das klingt als ob man vorher die klassische geometrische Reihe (bzw. Partialsumme) untersucht hat und nun daraus folgern soll. D.h. es fehlt vermutlich "nur" der erste Teil der Aufgabe.

Edit: Ziehe alles zurück Big Laugh

21.11.2020, 20:44

ShrewdLuke

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Beweis einer Summenformel
Oh, Entschuldigung. Ich meine natürlich $\begin{eqnarray*} \:\forall w,z \in R \end{eqnarray*}$

Ich würde es natürlich auch im eigentlichen Beitrag ändern bin aber leider nicht registriert.

21.11.2020, 21:03

HAL 9000

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Das mit den Brüchen lass mal besser sein: Damit handelst du dir nämlich Ärger im Fall $\begin{eqnarray*} z=w \end{eqnarray*}$ ein (Division durch Null!), das muss nicht sein.

Versuch den Beweis ohne solche Brüche durchzuziehen: Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ klappt das so:

$\begin{eqnarray*} z^{n+1}-w^{n+1} = z^{n+1} - zw^n + zw^n - w^{n+1} = z\left(z^n-w^n\right) + (z-w)w^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du rechts für $\begin{eqnarray*} z^n-w^n \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung verwenden...

22.11.2020, 11:06

ShrewdLuke

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Danke für die Antworten!

Da hätte ich auch selber drauf kommen können nicht durch 0 zu teilen. Hammer

Ich stehe aber immer noch etwas auf dem Schlauch. Sorry.

Ist das der richtige Ansatz für den Beweis:

$\begin{eqnarray*} (z-w)\sum\limits_{k=0}^{n} z^{n-k}*w^k = (z-w) \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k}*w^k+ z^{-2}*w^{n+1} \end{eqnarray*}$

Oder muss es ... $\begin{eqnarray*} +z^{-1}*w^{n+1} \end{eqnarray*}$ sein? Mich verwirrt das $\begin{eqnarray*} z^{n-1-k} \end{eqnarray*}$ .
Setze ich hier jetzt für n und k n+1 ein oder nur á la Kochrezept für k?

Oder meinst damit, dass ich den Beweis ausgehend von $\begin{eqnarray*} z^{n+1}-w^{n+1} \end{eqnarray*}$ führe?

So wie ich das verstehe geht es doch darum, dass ich durch Äquivalenzumformungen von $\begin{eqnarray*} z^n-w^n+ z^{-2}*w^{n+1} \end{eqnarray*}$ auf das $\begin{eqnarray*} z(z^n-w^n)+(z-w)w^n \end{eqnarray*}$ komme, oder nicht?

Danke und sorry für die wahrscheinlich trivialen Fragen aber ich stehe noch am Anfang meines Studiums.

22.11.2020, 11:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von ShrewdLuke
Oder meinst damit, dass ich den Beweis ausgehend von $\begin{eqnarray*} z^{n+1}-w^{n+1} \end{eqnarray*}$ führe?

So war es von mir gedacht, ja. Deine anderen Pläne/Ansätze verstehe ich nicht, wohl weil kaum zu erkennen ist, was Terme wie $\begin{eqnarray*} z^{-2} \end{eqnarray*}$ (übrigens auch für z=0 nicht erklärt) mit der Problemstellung hier zu tun haben.

22.11.2020, 11:45

ShrewdLuke

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Danke für die Antwort und Mühe.

Die Ansätze die ich hier zeige, stammen dem Prinzip nach aus einem Tutorium bei dem eine Beispielaufgabe entsprechend gelöst wurde. Deshalb dachte ich der Ansatz wäre stimmig.

Macht dieser Ansatz dann mehr Sinn?

$\begin{eqnarray*} z(z^{n-1-k}*w^k)+(z-w)w^n \end{eqnarray*}$

Kannst du mir evtl. erklären wie du aus der Aufgabenstellung erkennen konntest, dass der Ansatz den du verwendet hast der angebrachteste ist? Ich möchte gerne verstehen wie es dazu kommt.

Ich verstehe auch nicht ganz was die entsprechende Schlussfolgerung sein soll, wenn ich bei $\begin{eqnarray*} z^{n+1}-w^{n+1} \end{eqnarray*}$ starte.

22.11.2020, 11:57

HAL 9000

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Ich hatte gedacht, ich habe mich klar und deutlich geäußert:

Zitat:

Original von HAL 9000
Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ klappt das so:

$\begin{eqnarray*} z^{n+1}-w^{n+1} = z^{n+1} - zw^n + zw^n - w^{n+1} = z\left(z^n-w^n\right) + (z-w)w^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du rechts für $\begin{eqnarray*} z^n-w^n \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung verwenden...

Wenn man da mal zuhört und das auch wirklich macht, dann bekommt man

$\begin{eqnarray*} z^{n+1}-w^{n+1} = z\left(z^n-w^n\right) + (z-w)w^n \stackrel{IV}{=} z\cdot (z-w)\sum_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k}\cdot w^k + (z-w)w^n = (z-w)\left[ z\cdot \sum_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k}\cdot w^k + w^n\right] = \ldots \end{eqnarray*}$

Ziel ist es doch, das soweit umzuformen, dass man auf den Term $\begin{eqnarray*} (z-w)\sum_{k=0}^n z^{n-k}\cdot w^k \end{eqnarray*}$ der Induktionsbehauptung kommt.

22.11.2020, 12:59

ShrewdLuke

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Oh man, das war eine schwere Geburt!

Ich danke dir!

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