Unleserlich! Funktionen; injektiv, surjektiv oder bijektiv?

22.11.2020, 19:53

Geodreieck111

Funktionen; injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Meine Frage:
Servus,

ich komm bei der folgenden Aufgabe nicht bei b und c weiter:

(a) f : Z ? Z; n ? 2n
(b) g : Z ? Z; n ? 2n + 5
(c) h : Z ? Z; n ? n2+ 5
Entscheiden Sie, ob die Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind, und beweisen Sie, dass
Ihre Entscheidung jeweils korrekt ist.

Meine Ideen:
a) ist relativ leicht, weil 2n = 2m -> n = m, also injektiv ja, aber nicht surjektiv.

22.11.2020, 20:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das soll wohl so heißen:

$\begin{align*} \text{(a)} \ \ f: \, \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \, , \ \ n \mapsto 2n \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(b)} \ \ g: \, \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \, , \ \ n \mapsto 2n+5 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(c)} \ \ h: \, \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \, , \ \ n \mapsto n^2+5 \end{align*}$

Die Begründung, warum $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht surjektiv ist, fehlt. Was hast du bei den andern Funktionen bisher herausgefunden?

22.11.2020, 20:39

Geodreieck111

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, die Pfeile wurden komischerweise durch Fragezeichen ersetzt. Als Beweis, dass es keine surjektion gibt, hab ich das so gerechnet 2x = y -> x=y/2 und da die ganzen Zahlen keine Nachkommastellen besitzen, findet man kein Element x aus Z. Bei b und c weiß ich nicht welchen Ausdruck ich für n nehmen soll, um danach die Gleichung aufzulösen

22.11.2020, 21:05

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Geodreieck111
Ja genau, die Pfeile wurden komischerweise durch Fragezeichen ersetzt.

Verwende LaTeX zum Formelschreiben. Für den Einstieg tut es auch der hauseigene Formeleditor.

Um zu zeigen, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht surjektiv ist, genügt es völlig, ein Gegenbeispiel anzugeben, zum Beispiel, daß $\begin{align*} f(n) = 1 \end{align*}$ nicht möglich ist.

$\begin{align*} 2n \end{align*}$ mit $\begin{align*} n \in \mathbb{Z} \end{align*}$ ist ein Ausdruck für die geraden Zahlen. Noch 5 addiert (jede andere ungerade Zahl täte es auch), erhält man die ungeraden Zahlen. Um zu zeigen, daß $\begin{align*} g \end{align*}$ nicht surjektiv ist, kannst du zum Beispiel die Unlösbarkeit von $\begin{align*} g(n) = 2 \end{align*}$ zeigen. Oder wie wäre es mit $\begin{align*} g(n) = 6 \end{align*}$ ?

22.11.2020, 23:45

Geodreieck111

Auf diesen Beitrag antworten »

So, hab jetzt die Aufgaben bearbeitet und würde mich über eine Rückmeldung/Korrektur freuen smile

a) f(n) = f(m) also 2n = 2m -> n = m damit ist die Funktion injektiv.

Beweis, dass sie nicht surjektiv ist:
y = 3 -> 2x = 3 -> damit findet man kein x € Z da nur gerade Zahlen im Bild sind.

b)2n + 5 = 2m + 5
g(n)=g(m) die Funktion ist ebenfalls injektiv.

Beweis gegen Surjektion:
y=2. 2x +5 = 2 -> -1,5 und liegt damit nicht im Bild von g.

c) h(n) = h(m) n^2+5 = m^2+5
n^2 = m^2 -> 2^2 ungleich (-2)^2 die Funktion ist nicht injektiv und da im Bild der Funktion nur positive Zahlen liegen, ist sie auch nicht surjektiv.

Ist das so richtig?

sorry bei mir hat der Formeleditor anscheinend nicht funktioniert und ich kann den vorherigen Beitrag auch nicht löschen

EDIT(Helferlein): Hab das mal für Dich erledigt. Bitte nutze in Zukunft die Vorschaufunktion, damit Du solche Fehler direkt vor der Veröffentlichung erkennen kannst.

Neue Frage »

Antworten »

Unleserlich! Funktionen; injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Verwandte Themen