Grenzwert einer Zahlenfolge

23.11.2020, 15:52

Mathman91

Grenzwert einer Zahlenfolge

Ich hoffe, ich bin hier im richtigen Bereich.

Es geht um den Grenzwert einer Zahlenfolge.
Ich habe das so verstanden, das man im Nenner die höchste Potenz heraussucht und dann durch diese dividiert, was falsch ist.

Beispiel: (Siehe Bild).

Ich habe als erstes mal n^5 durch die anderen Zahlen dividiert und da kommt: n^2 raus. Das ist falsch. Dann habe ich die anderen Zahlen durch n^3 dividiert und das Ergbnis war: 1/n^2 und das ist dann 0. Weil n gegen unendlich läuft. Somit richtig.

Aber wie weiß ich, durch was ich dividieren muss?
Hier wäre ja die höhste Potenz n^5, aber das ist ja falsch?

23.11.2020, 16:10

Elvis

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Man muss nicht dividieren. Steht die höhere Potenz im Zähler, geht der Bruch gegen unendlich. Steht die höhere Potenz (wie hier) im Nenner, geht der Bruch gegen 0.

23.11.2020, 16:13

HAL 9000

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@Mathman91

Was ist die Absicht der Termumformungen? Man will das ganze in eine Form bringen, wo man bekannte Grenzwerte einfließen lassen kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^3+7}{n^5+2} = \frac{n^3\cdot \left(1+\frac{7}{n^3}\right)}{n^5\cdot\left(1+\frac{2}{n^5}\right)} = \frac{n^3}{n^5}\cdot \frac{1+\frac{7}{n^3}}{1+\frac{2}{n^5}} = \frac{1}{n^2}\cdot \frac{1+\frac{7}{n^3}}{1+\frac{2}{n^5}} \end{eqnarray*}$

Nun kann man $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ mehrfach nutzen (insgesamt dreimal!), und bekommt dann unter Einbeziehung der Grenzwertregeln für die vier Grundrechenarten auch das Ergebnis 0 für den gesuchten Grenzwert heraus.

23.11.2020, 17:02

Mathman91

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Ja, aber ich muss das rechnerisch zeigen, so wie du es gemacht hast.
Nur habe ich noch nicht ganz verstanden, welches n^... ich einsetzen muss.
Das war meine Frage.

23.11.2020, 17:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathman91
Ja, aber ich muss das rechnerisch zeigen, so wie du es gemacht hast.

Die Termunformung IST oben bereits gezeigt - oder willst du es noch ausführlicher? Was oben noch fehlt bzw. nur angedeutet ist, wie man darauf basierend die ebenfalls erwähnten Grenzwertregeln sukzessive zur Anwendung bringt.

23.11.2020, 17:59

Mathman91

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Schaut mal, ich rechne das so.

Hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{2x+1 }{4x} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich durch 4x oder 2x dividieren, da ich im Nenner und im Zähler die selbe Potenz von x^1 habe.

Hier mein Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2x}{4x}+\frac{1}{4x}}{\frac{4x}{4x}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2x}{2x}+\frac{1}{2x}}{\frac{4x}{2x}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nur wenn ich z.B. folgendes habe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2}+4}{x} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich x^2 im Zähler und x^1 im Nenner, durch was muss ich jetzt dividieren um auf $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ zu kommen?

Ich kann jetzt beide varianten durchrechnen um auf die Lösung zu kommen, oder ich weiß schon am Anfang mit was ich rechnen muss.

Das war meine Frage.

23.11.2020, 18:12

Elvis

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Warum so kompliziert mit dividieren, HAL9000 hat gezeigt, dass es mit kürzen viel einfacher geht.

$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{4x}=\frac {2x}{4x}+\frac 1{4x}=\frac 1 2+\frac 1{4x}\rightarrow\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {x^2+4}{x}=x+\frac 4 x\rightarrow\infty +0=\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

24.11.2020, 07:57

Mathman91

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Ich möchte bei meiner Variante bleiben.

24.11.2020, 08:06

HAL 9000

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Dann bleib doch dabei (welches auch immer deine Variante sein soll).

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