Menge in komplexer Zahlenebene

23.11.2020, 15:55

ShrewdLuke

Menge in komplexer Zahlenebene

Moin,

und zwar habe ich folgende Teilaufgabe in einer Selbstkontrolle und komme nicht weiter:

Skizzieren Sie folgende Mengen und begründe Sie ihre Skizze.

$\begin{eqnarray*} A = (z \in C | 2|4z+3| = |4z-3|) \end{eqnarray*}$

Mein Problem, ich soll in der nächsten Aufgabe die Schnittmenge von A und B skizzieren, bekomme aber für A keine Zahl die sich mit der Menge B vereinbaren lassen würde.

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} B = (z \in C | Rez + Imz < 1) \end{eqnarray*}$

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} y < 1 -x \end{eqnarray*}$
Sprich: Ich schraffiere die Fläche unterhalb der Funktion $\begin{eqnarray*} y = -x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2|4z+3| = 2r\: \Rightarrow \:2\sqrt{(4a+3)^2+(4b)^2} = 8a+6+8b \end{eqnarray*}$

Mittelpunkt: $\begin{eqnarray*} (a-x)^2+(b-y)^2=r^2 \:\rightarrow\: Mittelpunkt\: bei\: (-3/0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |4z-3| = r\: \Rightarrow \:\sqrt{(4a+3)^2+(4b)^2} = 4a+3+4b \end{eqnarray*}$

Mittelpunkt: $\begin{eqnarray*} (a-x)^2+(b-y)^2=r^2 \:\rightarrow\: Mittelpunkt\: bei\: (3/0) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt der Radius von $\begin{eqnarray*} |4z-3| \end{eqnarray*}$ ist doppelt so groß wie $\begin{eqnarray*} |4z+3| \end{eqnarray*}$

Wie lässt sich das nun interpretieren? Ich zeichne 2 Kreise in die Zahlenebene und deren Schnittmenge ist die Menge A oder nicht?

Wie zeichne ich das jetzt in die Zahlenebene ohne die Variablen a und b, sodass ich die Schnittmenge von A und B auch einzeichnen kann? Die Beschriftung der Zahlenebene muss ja einheitlich sein. Wie soll das aber gehen?

23.11.2020, 16:37

Steffen Bühler

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RE: Gaußsche Zahlenebene

Zitat:

Original von ShrewdLuke

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{(4a+3)^2+(4b)^2} = 8a+6+8b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(4a+3)^2+(4b)^2} = 4a+3+4b \end{eqnarray*}$

Da ist irgendwas schiefgelaufen. Wenn Du das korrigierst, gleichsetzt und nach b auflöst, erhältst Du die gesuchte Kreisgleichung.

Viele Grüße
Steffen

23.11.2020, 17:39

HAL 9000

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@ShrewdLuke

Außerdem wäre eine gewisse symbolische Vereinheitlichung anratsam: Momentan schwankst du noch, ob deine komplexe Zahlenebene die $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ - oder die $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ -Ebene ist - das solltest du vereinheitlichen. Augenzwinkern

23.11.2020, 19:22

ShrewdLuke

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Vielen Dank euch beiden! Hab es lösen können, als ich gesehen habe was ich da mit dem Binom angestellt habe, hab ich mich schon fast geschämt. Hammer

Ich interpretiere das richtig, dass nur die Punkte die auf dem Kreis liegen zu der Menge gehören oder handelt es sich um alle Punkte innerhalb des Kreises?

23.11.2020, 19:26

Steffen Bühler

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Ja, nur für die Punkte der Kreislinie gilt die Gleichheit.

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