Integration über ein Differential 2. Ordnung

25.11.2020, 17:12

Verrain

Integration über ein Differential 2. Ordnung

Die Integration über ein Differential 1. Ordnung ist ja wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Dadurch kann ich z.B. die lineare DGL 1. Ordnung lösen:
$\begin{eqnarray*} y' = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x = 5 \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}y = 5 \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Nachdem beide Seiten integriert wurden, habe ich die Lösung y(x).

Ich frage mich: Gibt es auch eine Definition für die Integration über ein Differential 2. Ordnung $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Um z.B. die DGL
$\begin{eqnarray*} y''(x) = 5y \end{eqnarray*}$

lösen zu können (ich weiß, dass die DGL auch mit der Ansatz Methode --> charakteristische Gleichung gelöst werden kann, aber das ist nicht meine Frage)

Viele Grüße
Verrain

25.11.2020, 18:23

Ulrich Ruhnau

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RE: Integration über ein Differential 2. Ordnung

Zitat:

Original von Verrain
Ich frage mich: Gibt es auch eine Definition für die Integration über ein Differential 2. Ordnung $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Nun, integrieren ist das Gegenteil von ableiten.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{\dd^2y}{\dd x^2} \, \dd x =\frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$

Um $\begin{eqnarray*} y''(x) = 5y \end{eqnarray*}$ zu lösen, würde ich jedoch auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ malnehmen.

$\begin{eqnarray*} y'y'' = 5yy' \end{eqnarray*}$

Dann kannst Du die Dgl direkt nach der Kettenregel integrieren, und das Ergebnis durch Trennung der Veränderlichen lösen. Einfacher geht es jedoch mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} y = e^{ax} \end{eqnarray*}$ .

10.12.2020, 15:42

Verrain

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Aber

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \neq y \end{eqnarray*}$

sondern
$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x = \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

Ergo kann ja auch nicht
$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$

gelten, sondern irgendwie
$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$

10.12.2020, 16:23

Verrain

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Aber wir wissen ja beide, dass das Quack ist. Das was du über die Multiplikation mit der ersten Ableitung schreibst, macht schon mehr Sinn:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Könnte dann vielleicht folgendes gelten?
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}y \mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Edit: Aber nee, dass ist ja auch Quark, da
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \neq \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' y' \neq y'' \end{eqnarray*}$

Bin echt verwirrt, wie ich über ein Differential 2. Ordnung integrieren soll.

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