Poisson-Prozess

25.11.2020, 18:24

Neuling54

Poisson-Prozess

Hallo,
ich betrachte einen Poissonprozess $\begin{eqnarray*} N= \{N_t: t \geq 0\} \end{eqnarray*}$ und die randomisierte Summe $\begin{eqnarray*} sum_{k=1}^{N} X_k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ eine Folge i.i.d. positiver Zufallsvariablen sind.
Zudem ist die Folge unabhängig von N.

Reicht das aus, um zu schließen, dass $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ unabhängig von Ziwschenzeiten ist. Damit meine ich die Zeit, von $\begin{eqnarray*} X_{k-1} \end{eqnarray*}$ bis vor dem Eintreten von $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2020, 19:11

HAL 9000

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Deine Beschreibung klingt widersprüchlich: Die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ sind Zeiträume, keine Zeitpunkte. Daher denke ich, dass du hier

Zitat:

Original von Neuling54
Damit meine ich die Zeit, von $\begin{eqnarray*} X_{k-1} \end{eqnarray*}$ bis vor dem Eintreten von $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ ?

eher "von $\begin{eqnarray*} S_{k-1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ " meinst, mit Partialsumme $\begin{eqnarray*} S_k:=\sum_{j=1}^k X_j \end{eqnarray*}$ .

25.11.2020, 19:17

Neuling54

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Die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ sollen für die Höhe von Schäden stehen. Der Poisson-Prozess misst als obere Grenze wie viel Schäden bis zum Zeitpunkt t enstanden sind gegeben mit der jeweiligen Höhe $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ .

Kann man argumentieren, dass die Schadenszwischenzeiten unabhängig von den Schäden sind?

25.11.2020, 19:24

Neuling54

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Dann hast du Recht mit den Partialsummen, denn nur im Übergang $\begin{eqnarray*} S_{k-1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ springt der Prozess um 1. Ich frage mich trotzdem, ob man hier die Unabhängigkeit zwischen Schäden und Zwischenzeit folgern kann verwirrt

25.11.2020, 22:20

Neuling54

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Was meinst du?

26.11.2020, 10:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Neuling54
Die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ sollen für die Höhe von Schäden stehen. Der Poisson-Prozess misst als obere Grenze wie viel Schäden bis zum Zeitpunkt t enstanden sind

Ok, dann habe ich das oben fehlinterpretiert (da war ja auch noch nicht die Rede von "Schäden"), ich hatte angenommen, dass die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ die Zeiten zwischen zwei aufeinander folgenden Schäden sind - sorry.

Zitat:

Original von Neuling54
Reicht das aus, um zu schließen, dass $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ unabhängig von Zwischenzeiten ist.

Eine solche Unabhängigkeit ist nichts, was man aus den vorgenannten Formeln schließen kann, sondern es ist eine zusätzliche Modellannahme: D.h., dass die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ nicht nur untereinander, sondern auch von $\begin{eqnarray*} (N_t) \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

26.11.2020, 10:27

Neuling54

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Tut mir leid für die schlechte Darstellung.
Ich könnte aber folgern, dass die Schadenzwischenzeiten eine Folge von i.i.d. Zufallsvariablen sind und exponential verteilt sind, weil $\begin{eqnarray*} N_t \end{eqnarray*}$ ein Poissonprozess ist?

26.11.2020, 10:53

HAL 9000

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Solange es ein homogener Poissonprozess ist (wovon ich mal ausgehe), dann stimmt das, ja.

26.11.2020, 11:07

Neuling54

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Alles klar. Was hilft mir egtl das N von den Schäden unabhängig ist?

Kann ich da irgendwas aussagen?

26.11.2020, 11:13

HAL 9000

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Naja, es hilft z.B. für die Größe $\begin{eqnarray*} Y_t:=\sum_{k=1}^{N_t} X_k \end{eqnarray*}$ einiges auszurechnen, etwa

$\begin{eqnarray*} E\left(Y_t\right) = E\left(N_t\right)\cdot E\left(X_1\right) = \lambda t\cdot E\left(X_1\right) \end{eqnarray*}$

bei angenommener Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ des homogenen Poissonprozesses - ohne Unabhängigkeit geht das nicht, wenn man sich mal die Details der Rechnung dazu anschaut (die ich hier nicht angeführt habe).

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