Warum nur Implikation und keine Äquivalenz?

26.11.2020, 11:35

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nur Implikation und keine Äquivalenz?

Meine Frage:
Hallo!

Folgende zwei Aussagen:
f: A -> B, $\begin{eqnarray*} M_1, M_2 \subset A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N_1,N_2 \subset B \end{eqnarray*}$
a) $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(N_1 \cap N_2) \subset f^{-1}(N_1) \cap f^{-1}(N_2) \end{eqnarray*}$

Das wurde folgendermaßen bewiesen:

$\begin{eqnarray*} f(x) \in f(M_1 \cup M_2) \Leftrightarrow f(x) \in f(M_1) \vee f(x) \in f(M_2) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(N_1 \cap N_2) \Rightarrow x \in f^{-1}(N_1) \vee x \in f^{1}(N_2) \end{eqnarray*}$

Da habe ich mich gefragt, wie man denn zeigt, dass im zweiten Fall nur die Implikation gilt. Man kann ein Gegenbeispiel zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(N_1) \cap f^{1}(N_2) \not{\subset} f^{-1}(N_1 \cap N_2) \end{eqnarray*}$ , aber das reicht mir nicht, weil die vollständigen Beweise (s. Anhang) ja relativ ähnlich sind.

Warum gilt bei einem die Äquivalenz und beim anderen nur die Implikation?

Meine Ideen:
.

26.11.2020, 19:23

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dich da verschrieben. Wie im Anhang aufgeführt gilt allg.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(N_1\cup N_2) = f^{-1}(N_1)\cup f^{-1}(N_2). \end{eqnarray*}$

Streng genommen müsste man auch definieren was " $\begin{eqnarray*} f(x)\in N \end{eqnarray*}$ " bedeutet. Zwar ist $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} (x,y)\in f \end{eqnarray*}$ , doch $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ steht darin nicht für sich allein genommen. Denken wir darüber nach, gelangen wir zur induzierten Definition

$\begin{eqnarray*} f(x)\in N \iff \exists y\in N\colon y=f(x). \end{eqnarray*}$

Oh weh, da steckt ein Quantor drin. D.h.

$\begin{eqnarray*} f(x)\in N_1 \cup N_2 \iff f(x)\in N_1\lor f(x)\in N_2 \end{eqnarray*}$

ist eigentlich Hand-waving.

27.11.2020, 06:54

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich tatsächlich verschrieben:
Ich meinte, man kann mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(M_1) \cap f(M_2) \cancel{\subset} f(M_1 \cap M_2) \end{eqnarray*}$ .
Es reicht ja, ein Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass die Mengen nicht gleich sind, aber es ging mir um die Frage, ob man das auch anders zeigen kann. Etwas, was einem mehr Einsicht in die Mathematik gibt, also warum Implikation, aber keine Äquivalenz.
Damit habe ich halt immer noch Probleme, mit dem Erkennen, ob Implikation oder Äquivalenz.

27.11.2020, 09:10

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Stell dir vor, es gilt $\begin{eqnarray*} f(M_1)=N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(M_2)=N \end{eqnarray*}$ . Außerdem seien $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ disjunkt. Dann ist $\begin{eqnarray*} M_1\cap M_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ , und infolge $\begin{eqnarray*} f(M_1\cap M_2)=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} f(M_1)\cap f(M_2) = N\cap N = N \end{eqnarray*}$ . Wie kann es zu so einer großen Diskrepanz kommen? Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unterschiedliches gleichmacht. Warum ist das bei $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht so? Weil disjunkte Mengen immer disjunkte Urbilder haben.

27.11.2020, 09:27

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Also f(M_1 u M_2) --> f(M_1) u f(M_2) und f(M_1) u f(M_2) --> f(M_1 u M_2)
f(M_1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ M_2) --> f(M_1) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ f(M_2), aber umgekehrt nicht, weil Gegenbeispiel vorhanden?

27.11.2020, 11:01

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich nicht nur ein Beispiel, sondern viele. Zu jeder nichtinjektiven Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lassen sich disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} M_1,M_2 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} f(M_1)=f(M_2) \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

27.11.2020, 11:31

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ein Gegenbeispiel reicht doch völlig aus?

27.11.2020, 22:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, daß man sich bei dir melden soll, wenn man alle nichttrivialen Nullstellen von $\begin{align*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \, , \ s \in \mathbb{C} \end{align*}$ findet. Nun war ich dabei recht erfolglos, habe aber etwas anders für dich gefunden:

$\begin{align*} \zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots = \infty \end{align*}$

$\begin{align*} \zeta(0) = 1 + 1 + 1 + \ldots = \infty \end{align*}$

Ist doch auch ganz hübsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2020, 06:37

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Wusstest du, dass

$\begin{eqnarray*} \zeta (-1) = \sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \ldots = - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2020, 07:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es mag zwar $\begin{eqnarray*} \zeta(-1)=-\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ sein, aber es ist gewiss nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} n = - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ . Und das "weiß" Leopold ganz sicher. smile

smile

Da muss wohl einer noch lernen, dass bei der analytischen Fortsetzung einer ursprünglich als Reihe definierten Funktion diese Ausgangsdefinition dann nicht notwendig mehr global gültig ist. Und $\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ gilt nun mal nur für $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(s)>1 \end{eqnarray*}$ , und definitiv nicht für $\begin{eqnarray*} s=-1 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

P.S.: Nur weil man Ramanujan achtet oder vielleicht sogar bewundert, muss man noch lange nicht seine widersprüchliche Verwendung des Reihenformalismus kritiklos übernehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2020, 07:47

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe wirklich wenig Ahnung von Reihen, aber ich weiß zwei Sachen:
Dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ für eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$
und, dass so manchem bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} n = - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ das Herz stehen bleibt.
Big Laugh

Big Laugh

28.11.2020, 07:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tangentialvektor
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n= 1}^{\infty} a_n \to \infty \end{eqnarray*}$ , für eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

Ebenfalls falsch, wie man am einfachen Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n=-1 \end{eqnarray*}$ sieht. Du solltest deine "Gewissheiten" mal einer kritischen Prüfung unterziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2020, 07:56

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du mich so verunsichert, dass ich meinen Beitrag kurz editiert hatte, bis mir auffiel, dass ich verar... veräppelt wurde böse

böse

Aber meine Aussage ist doch die Kontraposition des Nullfolgenkriteriums oder nicht verwirrt

verwirrt

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} -1 = -1 \neq 0 \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} -1 \to \infty \end{eqnarray*}$
Offentsichlicht gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^{\infty} -1 = -1 -1 -1 -1 -1 \ldots \to \infty \end{eqnarray*}$

28.11.2020, 08:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann hast du eine andere Vorstellung von bestimmter Divergenz als ich. Bei mir ist jedenfalls $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} -1 = -\infty \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Und was die Kontraposition des Nullfolgenkriteriums betrifft:

Die Kontraposition von " $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n=0 \end{eqnarray*}$ " ist NICHT " $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ ", sondern exakterweise

" $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ existiert nicht oder im Falle seiner Existenz gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ "

Und zu guter Letzt: Nichtkonvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ bedeutet nur dann automatisch bestimmte Divergenz $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty \end{eqnarray*}$ , wenn wir etwa zusätzlich $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle n voraussetzen. Ohne diese Voraussetzung kann Nichtkonvergenz auch bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ (siehe oben) bedeuten, oder aber auch unbestimmte Divergenz, wie etwa im Fall $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ .

28.11.2020, 08:20

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Letztlich hat das ganze dann doch eine unangenehme Wendung gefunden.
Es stimmt natürlich, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^{\infty} -1 \to - \infty \end{eqnarray*}$
Die Negation von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ kann ich nicht wirklich nachvollziehen.
Das mit den drei "Arten" von Divergenz $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ und Alternieren zwischen verschiedenen Werten, kannte ich tatsächlich, und das kam mit deiner Erwähnung davon dann wieder hoch.
Vielleicht habe ich mich da ein wenig reingesteigert, zumal ich keine Ahnung von Reihen habe.
Ich hoffe, das Thema wäre damit abgeschlossen

28.11.2020, 09:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tangentialvektor
Die Negation von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ kann ich nicht wirklich nachvollziehen.

Wenn man nur schreibt " $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ ", dann bedeutet das auch, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ existiert. Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , für die wir lediglich die Aussage negieren, dass sie gegen Null konvergiert, muss aber nicht konvergieren - ich führe dazu wieder das Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ an.

28.11.2020, 14:43

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Da muss wohl einer noch lernen, dass bei der analytischen Fortsetzung einer ursprünglich als Reihe definierten Funktion diese Ausgangsdefinition dann nicht notwendig mehr global gültig ist. Und $\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ gilt nun mal nur für $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(s)>1 \end{eqnarray*}$ , und definitiv nicht für $\begin{eqnarray*} s=-1 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

P.S.: Nur weil man Ramanujan achtet oder vielleicht sogar bewundert, muss man noch lange nicht seine widersprüchliche Verwendung des Reihenformalismus kritiklos übernehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht ein wenig zur Ehrenrettung: vor ein paar Jahren gab es von Numberphile (die sonst ganz ordentliche Videos machen) ein paar Videos zu diesem Thema, etwa dieses hier, wo die Problematik ziemlich ungenau behandelt und als "normale Mathematik" dargestellt wurde.

28.11.2020, 15:18

Tangentialvektor

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Iorek: Ich habe dieses Video auch gesehen und es hat ja den ein oder anderen aufgeregt (aber was kann man von einem Physiker in Richtung Mathematik schon erwarten Big Laugh

Big Laugh

). Das beste Video zu der Thematik, finde ich, ist von Mathologer. Es kam mir genau darauf an, ein paar Leute zu ärgern und anscheinend habe ich es geschafft Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber danke für die Ehrenrettung
Zu HAL 9000: Ich habe zwei Fragen
1) Heißt dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ so viel wie der Grenzwert existiert und ist gleich Null?
2) Wenn ich eine Aussage, die über mehrere "und" verbunden ist, negiere, was kommt dann raus?

28.11.2020, 16:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Und das "weiß" Leopold ganz sicher.

[attach]52214[/attach]

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »