Messbarkeit

26.11.2020, 16:23

AlgebraMess

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Messbarkeit

Betrachte für jedes natürliche k und festes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ den Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} S_k=x+k-(X_1+...+X_k) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ sind i.i.d. Zufallsvariablen, die die Werte $\begin{eqnarray*} 0,1,2,... \end{eqnarray*}$ annehmen.
Wenn ich einen gefilterten Wkt-Raum betrachte, wobei die natürliche Filtration zugrunde gelegt wird.,d.h. die $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_k= \sigma(X_s | s \leq k) \end{eqnarray*}$ , ist dann $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ messbar.

Nach meiner Vorstellung müsste doch die Summe der $\begin{eqnarray*} X_1+...+X_k \end{eqnarray*}$ messbar sein und damit auch $\begin{eqnarray*} x+k-(X_1+...+X_k) \end{eqnarray*}$

Wäre das ok?

26.11.2020, 16:40

IfindU

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RE: Messbarkeit
Genau. Summen und Differenzen von messbaren Funktionen sind messbar. Konstante Funktionen sind bzgl. jedes Maßraumes messbar, da jede Sigma-Algebra wenigstens zwei Element beinhaltet.

26.11.2020, 16:51

AlgebraMess

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RE: Messbarkeit
Danke für deine schnelle Antwort.

Kann ich dann meinen Wkt- Raum formall so aufschreiben: $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_k)_{k \in \mathbb{N}}, P) \end{eqnarray*}$

26.11.2020, 17:04

IfindU

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RE: Messbarkeit
Wahrscheinlichkeiträume werden durch 3 Parameter beschrieben. Wenn das eine spezielle Notation für Filterungen ist klar kannst du es formal so schreiben. Wenn du "traditionelle" W-Räume meinst, dann nicht. Meinst du $\begin{eqnarray*} (\Omega, \cup_{k} \mathcal F_k, P) \end{eqnarray*}$ als ein W-Raum, welcher alle Filtrationen "beinhaltet"? Oder eine Folge von W-Räumen $\begin{eqnarray*} \Big ( (\Omega, \mathcal F_k, P)\Big)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ ?

26.11.2020, 17:04

HAL 9000

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gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum

Zitat:

Original von AlgebraMess
Kann ich dann meinen Wkt- Raum formall so aufschreiben: $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_k)_{k \in \mathbb{N}}, P) \end{eqnarray*}$

Ich kannte diese Symbolik - die Aufnahme der Filtration mit in den W-Raum, so dass das Tripel zum Quadrupel wird - bisher nicht, aber laut

https://de.wikipedia.org/wiki/Filtrierun...keitstheorie%29

scheint das ja nicht unüblich zu sein.

26.11.2020, 17:08

AlgebraMess

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RE: gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum
Daran habe ich mich orientiert HAL.
Ist dann klar, wenn $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ auf diesem Wkt- Raum definiert ist, dass dann das Bild davon die ganzen Zahlen sind mit der Potenzmenge als Sigma -Algebra?

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26.11.2020, 17:14

HAL 9000

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Das Bild ist zumindest eine Teilmenge der ganzen Zahlen, ja - ob es wirklich ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist, hängt von der $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ -Verteilung ab.

26.11.2020, 17:21

AlgebraMess

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Gut, du hast Recht.
Kann ich dann für den Fall $\begin{eqnarray*} S_0=x \end{eqnarray*}$ das Wkt-Maß anpassen und entrechend $\begin{eqnarray*} P_x(..)= P(...| S_0=x) \end{eqnarray*}$ setzen und dieses neue Maß als Wkt-Maß in meinem Quadtrupel für das ursprüngliche $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ersetzen?

26.11.2020, 17:28

HAL 9000

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Wenn $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ fest ist, gibt es da doch gar nichts anzupassen. Ich verstehe dich daher so, dass du nun eher

$\begin{eqnarray*} S_k = S_0+k-\left(X_1+\ldots X_k\right) \end{eqnarray*}$

mit zunächst zufälligem $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ betrachten willst? Dann entspricht die Betrachtung von $\begin{eqnarray*} P\left(\ldots \mid S_0=x\right) \end{eqnarray*}$ tatsächlich dem ursprünglich von dir geschilderten Modell. Oder was sonst meinst du mit "Anpassung"?

26.11.2020, 17:35

AlgebraMess

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In der betrachteten Arbeit wird das x erstmal als fest betrachtet. Später wird dann diese Notation mit $\begin{eqnarray*} S_0=x \end{eqnarray*}$ eingeführt, da dann in späteren Beweisen der Prozess $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ von verschiedenen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausgeht.

Dann macht es doch egtl keinen Sinn: $\begin{eqnarray*} S_k =x+k-(X_1+..+X_k) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, sondern x gleich als Zufallsvariable zu sehen, wie du es gesagt hast?

26.11.2020, 18:06

AlgebraMess

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Wenn $\begin{eqnarray*} S_0=u \end{eqnarray*}$ definiert wird, habe ich dann nicht ein problem mit der Messbarkeit, da $\begin{eqnarray*} \sigma(X_0) \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist?

27.11.2020, 11:59

HAL 9000

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Verstehe ich nicht, wo gibt es hier ein $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ ? Erstaunt1

Erstaunt1

Bezogen auf eine allgemeine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ gibt es aber in der Tat das Problem, dass die in der Filtration $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_k= \sigma\left(X_s \mid s \leq k\right) \end{eqnarray*}$ ja nicht berücksichtigt ist. D.h., mit dem bloßen Wechsel zu

$\begin{eqnarray*} S_k = S_0+k-\left(X_1+\ldots X_k\right) \end{eqnarray*}$

ist es nicht getan, wenn auch weiterhin die $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_k \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ erfüllt sein soll.

27.11.2020, 12:23

AlgebraMess

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Sollte vllt gleich die Filtration von den $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ erzeugt werden?

Oder man lässt es bei den $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ und schreibt. Der Prozess startet bei $\begin{eqnarray*} S_0=x \end{eqnarray*}$ , dass duch das Wkt-Maß abgebildet ist und lässt dann $\begin{eqnarray*} k=1,2,... \end{eqnarray*}$ laufen. Hat man dann nicht die Messbarkeit, da $\begin{eqnarray*} S_0=x \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist

27.11.2020, 12:28

AlgebraMess

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Insbesonder ist doch dann für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ die Sigma-Algebra von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ezeugt und somit auch $\begin{eqnarray*} x+1-X_1 \end{eqnarray*}$ messbar.

27.11.2020, 13:37

HAL 9000

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Dass das mit einem konstanten $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ kein Problem ist, steht doch gar nicht zur Debatte - ich hatte von einer allgemeinen, nichtdeterministischen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ gesprochen, die du ja eigentlich erst aufs Tapet gebracht hast (aber jetzt anscheinend nichts mehr davon wissen willst). verwirrt

verwirrt

27.11.2020, 13:41

AlgebraMess

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Ja mit der allgemeinen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ ist das Problem wsl eher zu überissen.

Wenn ich meinen gefilterten Wkt-Raum auf der natürlichen Filtration erzeugt von den $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ betrachte und definiere zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ startet $\begin{eqnarray*} S_0=x \end{eqnarray*}$ , habe ich doch mit dem Wkt-Maß $\begin{eqnarray*} P_x(...)=P(..| S_0=x) \end{eqnarray*}$ auf diesem Raum keine Probleme bezüglich Messbarkeit oder?

27.11.2020, 13:56

HAL 9000

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Ok, wenn du $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ von vornherein auf deterministische Zufallsgrößen beschränkst, geht das in Ordnung. D.h., du führst das nur deshalb ein, um variable nichtzufällige Startwerte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu ermöglichen.

27.11.2020, 14:08

AlgebraMess

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Ja genau

smile

. Perfekt dann hat sich alles geklärt. Ich danke dir vielmals Freude

Freude

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