Verbindungsgerade der Berührpunkte zweier Tangenten senkrecht zum Durchmesser

27.11.2020, 14:21

mathemia123

Verbindungsgerade der Berührpunkte zweier Tangenten senkrecht zum Durchmesser

Meine Frage:
Hallo,

ich soll beweisen, dass die Gerade durch die Berührpunkte zweier Tangenten am Kreis senkrecht zur Gerade durch den Schnittpunkt der beiden Tangenten und dem Mittelpunkt ist.

Leider weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll...

Meine Ideen:
Wenn X der Schnittpunkt ist und Y_1 und Y_2 die Berührpunkte auf der Verbindungsgerade der Tangenten, müsste ich ja zeigen, dass das Skalarprodukt vom Vektor MX und Y_1Y_2 = 0 ist.

27.11.2020, 16:15

HAL 9000

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Ok, der Beweis soll vektoriell geschehen. Was haben wir gegeben bzw. ist aus der Situation ablesbar:

a) $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XY_1}\cdot \overrightarrow{MY_1} = \overrightarrow{XY_2}\cdot \overrightarrow{MY_2} = 0 \end{eqnarray*}$ weil Kreistangenten senkrecht zum Radiusvektor stehen,

b) $\begin{eqnarray*} \left| \overrightarrow{MY_1} \right| = \left| \overrightarrow{MY_2} \right| \end{eqnarray*}$ , weil beides Kreisradien sind.

Weiterhin ist

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MX} = \overrightarrow{MY_1} + \overrightarrow{Y_1X} = \overrightarrow{MY_1} - \overrightarrow{XY_1} \end{eqnarray*}$ , analog auch $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MX} = \overrightarrow{MY_2} - \overrightarrow{XY_2} \end{eqnarray*}$ , und es gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Y_1Y_2} = \overrightarrow{Y_1X} + \overrightarrow{XY_2} = \overrightarrow{XY_2} - \overrightarrow{XY_1} \end{eqnarray*}$ .

Nun in der Rechnung $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MX}\cdot \overrightarrow{Y_1Y_2} = \ldots \end{eqnarray*}$ alles gut verrühren und mittels a),b) vereinfachen!

27.11.2020, 22:33

klauss

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RE: Verbindungsgerade der Berührpunkte zweier Tangenten senkrecht zum Durchmesser

Zitat:

Original von mathemia123
Leider weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll...

Wäre interessant zu wissen, ob Du eine elementargeometrische Idee OHNE Verwendung von Vektoren gehabt hättest.
Schulmäßig relevant wäre da dieselbe Konstellation in umgekehrter Reihenfolge, nämlich bei der Aufgabe, von einem Punkt außerhalb des Kreises die beiden Tangenten zu konstruieren.

[attach]52207[/attach]

29.11.2020, 13:00

mathemia123

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@HAL 9000:

Ich bleibe bei

< $\begin{eqnarray*} \vv{MY_2} + \vv{Y_2X}, \vv{XY_2} + \vv{Y_1X} \end{eqnarray*}$ > stehen und möchte das auf < $\begin{eqnarray*} \vv{MY_2}, \vv{XY_2} \end{eqnarray*}$ > bringen... Da finde ich keinen Ansatz mehr.

@klauss:

Also mir ist bewusst, dass die Gerade, die durch die beiden Berührpunkte verläuft, die Höhe des Dreiecks ist und damit senkrecht auf XM liegt. Aber dass das die Höhe ist, müsste ich ja auch wieder beweisen oder?

29.11.2020, 15:02

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MX}\cdot \overrightarrow{Y_1Y_2} = \overrightarrow{MX}\cdot \overrightarrow{MY_2} - \overrightarrow{MX}\cdot \overrightarrow{MY_1} = \left(\overrightarrow{MY_2} - \overrightarrow{XY_2}\right)\cdot \overrightarrow{MY_2} - \left(\overrightarrow{MY_1} - \overrightarrow{XY_1}\right)\cdot \overrightarrow{MY_1} = \ldots \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich aber

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Y_1Y_2} = \overrightarrow{Y_1M} + \overrightarrow{MY_2} = \overrightarrow{MY_2} - \overrightarrow{MY_1} \end{eqnarray*}$

genutzt, d.h., die Differenzdarstellung dieses Vektors oben (mit X statt M) passt nicht so ganz in Hinblick auf das Ziel.

29.11.2020, 16:49

klauss

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RE: Verbindungsgerade der Berührpunkte zweier Tangenten senkrecht zum Durchmesser
@mathemia123:

Gemäß SsW entstehen bei der Tangentenkonstruktion 2 kongruente, spiegelsymmetrische Dreiecke, die ein Drachenviereck bilden.

30.11.2020, 09:48

mathemia123

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@HAL 9000: Ich verstehe leider bereits den ersten Schritt nicht. Wieso kann ich das Skalarprodukt so zerlegen?

30.11.2020, 11:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathemia123
Wieso kann ich das Skalarprodukt so zerlegen?

Hallo? Distributivgesetz - schon mal gehört? $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \left(\vec{b} - \vec{c}\right) = \vec{a}\cdot \vec{b} - \vec{a}\cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$

30.11.2020, 11:21

mathemia123

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Ups, klar. Danke für die Hilfe. Total nett!

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