Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

28.11.2020, 00:20

Little Princess

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Hallo,
ich hätte eine Frage bezüglich der Berechnung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Komme dabei im Moment nicht weiter.

Ich muss die Wahrscheinlichkeitsdichte des Erwartungswertes von n unabhängig, identisch verteilten diskreten zufälligen Variablen $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} p(X_{i}=0)=p(X_{i}=1)=p(X_{i}=2)=p(X_{i}=3)=p(X_{i}=4)=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ , for $\begin{eqnarray*} n=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich bin mal soweit das ich vermute das die Verteilungen wie folgt aussehen:
[attach]52210[/attach]

Zudem vermute ich das es darum geht das Integral der Funktionen zu lösen. Bin mir aber im Moment nicht sicher welchen Ansatz ich verfolgen soll.

Hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen.

Viele Grüße

Princess

28.11.2020, 07:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Little Princess
Wahrscheinlichkeitsdichte des Erwartungswertes

Was bitte soll das sein? Der Erwartungswert ist eine reelle Zahl, die hat keine Wahrscheinlichkeitsverteilung (es sei denn, man ordnet ihr die Einpunktverteilung auf eben diese Zahl zu - aber das ist hier gewiss nicht gemeint). unglücklich

In der Grafik ist die Verteilungsdichte des Mittelwerts $\begin{eqnarray*} M_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ derart verteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ zu sehen. Wohlgemerkt, die diskrete Dichte, auch Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. Und diese Dichte wird nur durch die fett gezeichneten Punkte in der Grafik symbolisiert - die Verbindungslinien dazwischen gehören NICHT dazu, die sind eher als grafisches Blendwerk zu sehen, welches allenfalls andeuten soll, was im Grenzprozess $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ passieren könnte.

$\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ kann laut Definition die $\begin{eqnarray*} (4n+1) \end{eqnarray*}$ möglichen Werte $\begin{eqnarray*} \frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,1,\ldots,4n \end{eqnarray*}$ annehmen, die zugehörigen Wahrscheinlichkeitswerte kann man ganz ähnlich wie hier

Verteilung der Summe von n Augenzahlen beim Würfeln

(nur mit 5 statt 6 Ausprägungen) durch eine eben solche Faltungsoperation berechnen, d.h. als Vektor mit eben jenen Komponenten $\begin{eqnarray*} i=0,1,\ldots,4n \end{eqnarray*}$ geschrieben bekommt man die Wahrscheinlichkeiten

n=1: (1,1,1,1,1)/5
n=2: (1,2,3,4,5,4,3,2,1)/25
n=3: (1,3,6,10,15,18,19,18,15,10,6,3,1)/125

usw.

Mit "Integral" bzw. überhaupt stetigen Verteilungen bist du hier bei endlichem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ also auf dem völlig falschen Dampfer.

28.11.2020, 19:56

Little Princess

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Vielen lieben Dank für die super Antwort. Das hat mir schon mal sehr weitergeholfen. Hatte in der ursprünglichen Frage den Erwartungswert mit dem Mittelwert verwechselt.

Mir ist noch nicht ganz klar woher die Definition $\begin{eqnarray*} (4n+1) \end{eqnarray*}$ kommt. Ich kann mir vorstellen, das eine allgemeine Definition unter einem bestimmten Überbegriff zusammengefasst wird. Wäre sehr dankbar für für einen Hinweis diesbezüglich.

Viele Grüße

28.11.2020, 20:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Little Princess
Mir ist noch nicht ganz klar woher die Definition $\begin{eqnarray*} (4n+1) \end{eqnarray*}$ kommt.

Wieso "Definition" ? Zähle einfach mal durch, wieviel Zahlen das sind von $\begin{eqnarray*} 0,1,\ldots,4n \end{eqnarray*}$ .

Oder ist dir etwa unklar, dass letzteres die mögiche Wertemenge von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

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