Fixpunktgleichung

28.11.2020, 12:25	Stu1917	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktgleichung Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabenstellung: Sei x > -5. Man löse numerisch e^{-x} + \sqrt{5+x} -3 = 0 Finden Sie für alle Nullstellen eine geeignete Fixpunktgleichung mit anziehendem Fixpunkt. Bestimmen Sie anschließend alle Nullstellen mit der Fixpunktiteration. Meine Ideen: Ich hab das jetzt so gelöst: g(x)=e^{-2x}+2=x g´(x) = -2e^{-2x} < 0 -> hat also anziehende Fixpunkte. Das Problem ist, dass ich damit nur auf eine Nullstelle von f(x) komme, eigentlich hat die Funktion in [-1,4] aber 2. Könnte mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe, bzw. wie die richtige Fixpunktgleichung aussieht? LG Stu
28.11.2020, 16:09	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktgleichung Um eine Fixpunktgleichung zu erhalten, musst du die gegebene Gleichung nach einem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , so umformen, dass du $\begin{eqnarray} x=g(x) \end{eqnarray}$ erhältst. Dabei muss für die Verfahrenskonvergenz gelten $\begin{eqnarray} \|g'(x)\|< 1 \end{eqnarray}$ innerhalb des Intervalls zwischen der gesuchten Nullstelle und dem Start $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Löse für die eine Nullstelle nach dem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in der Wurzel auf und für die andere nach dem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ der E-funktion. Wie bist du von der gegebenen Funktion auf dein $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ gekommen? Dies kann ich nicht nachvollziehen!
28.11.2020, 17:58	Stu1917	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf g(x) bin ich folgendermaßen gekommen: 0=e^{-x}+\sqrt{5+x} -3 /-\sqrt{5+x} +3 /quadrieren e^{(-x)^2}=-5+x+3 e^{-2x}=x-2 /+2 x=e^{-2x}+2 Ich habe auch gerade bemerkt, dass ich einen kleinen Denkfehler gemacht habe was die Nullstellen angeht. Ich habe einfach die Iteration durchgeführt und so ausschließlich den Fixpunkt bekommen. Was muss ich denn tun, um mit der Fixpunktiteration auf die Nullstellen zu kommen? Ich weiß, dass man das mit dem Newton-Verahren machen könnte, allerdings wird danach in nächsten Teil-Aufgabe gefragt und hier explizit nach der Bestimmung mit der Fixpunktiteration.
28.11.2020, 18:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Quadrieren ist ziemlich schief gelaufen. Stichwort binomische Formel. Prinzipiell wäre es aber sinnvoller nur den Wurzelterm auf die rechte Seite zu ziehen.
28.11.2020, 19:30	Stu1917	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, bin mir aber gerad immer noch nicht sicher ob ich das jetzt richtig habe: Lösungsweg: $\begin{eqnarray} 0=e^{-x}+\sqrt{5+x} -3 /-\sqrt{5+x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{5+x}=e^{-x}-3 \end{eqnarray}$ /quadrieren $\begin{eqnarray} 5+x=e^{-2x}-6e^{-x}+9 \end{eqnarray}$ /-5 $\begin{eqnarray} x=e^{-2x}-6e^{-x}+4 \end{eqnarray}$ -> g(x0) >1 also nicht Konvergent. Ich hab deshalb noch den ln() angewandt: $\begin{eqnarray} \ln(x)=-2x+6x+\ln(4) \ \|-\ln(4) \ \| \ /4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=-\frac{\ln(4)+\ln(x)}{4} \end{eqnarray}$ Hier wäre die Konvergenz durch g(x0) < 1 gegeben, jedenfalls wenn die Umformung stimmt. Edit (mY+): Wenn du schon so schön LaTeX schreibst, dann vergiss bitte nicht, noch die Tags zu setzen. Einige kleine Berichtigungen habe ich auch noch gemacht.
29.11.2020, 00:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu stellen sich mir zwei Fragen: Was ist bei Dir $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und was interessiert Dich $\begin{eqnarray} g(x_0) \end{eqnarray}$ ? Lies dazu am besten noch einmal den Beitrag von zyko oben. Die Umformung mit dem Logarithmus ist ähnlich schief gelaufen, wie anfangs das Quadrieren. Es gilt nicht $\begin{eqnarray} log(a+b)=log(a)+log(b) \end{eqnarray}$ . Für diesen Teil brauchst Du den Logarithmus aber auch gar nicht. Er wird erst bei der zweiten Nullstelle relevant (Sofern Du zykos Vorschlag umsetzt).
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02.12.2020, 12:49	Stu1917	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ganze Hilfe. Ich habe es tatsächlich hinbekommen

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