Definitionslücken berechnen

28.11.2020, 17:30

Mathman91

Definitionslücken berechnen

Hallo zusammen,

ich versuche gerade die Definitionslücken von zwei Funktionen zu berechnen.
Daher habe ich zwei Fragen an euch:

1. Frage:

Bei folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

Beim berechnen der Definitionslücken, konzentriere ich mich auf den Nenner.

Hier habe ich x und dies setze ich Null:

Lösung: $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

2. Frage:

Bei dieser Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{sin(x)} \end{eqnarray*}$

lautet die Lösung: $\begin{eqnarray*} x*\pi \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x\in Z \end{eqnarray*}$ ist.

(Z soll die ganzen Zahlen darstellen).

Stimmt das soweit?

28.11.2020, 17:57

klauss

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RE: Definitionslücken berechnen
Bei 1) könnte man es lassen.

Bei 2) allerdings muß man auf die Schreibweise achten.
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Variable, die grundsätzlich aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kommt.
Auszunehmen sind alle ganzzahligen Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , dafür kann man nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbst als Index verwenden.
Den Definitionsbereich würde ich angeben mit
$\begin{eqnarray*} D_{f} =\mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \left\{ x | x=k\cdot \pi ; k\in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

29.11.2020, 11:36

Mathman91

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Bei 1. Kann es ja nur 0 sein.
Ich setze x=0 und fertig.

Nur verstehe ich hier nicht, warum x=0 stetig hebbar ist?
Ich habe hier doch keine hebbaren Definitionslücken.

29.11.2020, 12:00

willyengland

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Du hast da 0/0, also kannst du l'Hospital anwenden.
Das gibt: cos(x)/1, was 1 ergibt bei x=0.

29.11.2020, 16:32

Mathman91

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Achso, ja klar.

sin(0) = 0 somit habe ich im Zähler wie auch im Nenner 0 und an dieser stelle eine hebbare Definitionslücke.

Danke.

29.11.2020, 17:07

klauss

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Zitat:

Original von Mathman91
somit habe ich im Zähler wie auch im Nenner 0 und an dieser stelle eine hebbare Definitionslücke.

Weiß jetzt nicht, ob Du die richtige Schlußfolgerung gezogen hast.
Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} ~~~f. ~x\neq 0 \\ 1 ~~~f. ~x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
ist stetig in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

30.11.2020, 03:20

Dopap

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RE: Definitionslücken berechnen

Zitat:

Original von Mathman91
ich versuche gerade die Definitionslücken von zwei Funktionen zu berechnen.

1. Frage:

Bei folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Funktion. Da fehlt die Definitionsmenge, die per Definition immer dazu gehört.
Überlege dir mal, was du eigentlich suchst?

Zahlen die eingesetzt keine Zahl ergeben?

Übrigens: Obiges ist nicht einmal eine Funktionsvorschrift sondern eine Gleichung in 2 Variablen.

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