Beweise führen

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Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise führen
Auf seien folgende Relationen definiert:




Wir sollen nun überprüfen, ob diese drei a),b) und c) Äquivalenzrelationen sind.


Ideen:
Um zu überprüfen, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, muss man schauen, ob die drei Relationseigenschaften (Reflexivität, Symmetrie und Transitivität) erfüllt sind.



(1) reflexiv: gilt:

(2) Symmetrie: Zu zeigen: gilt:


An diesem Punkt komme ich leider nicht mehr weiter. Vielen Dank für die Hilfe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du redest zunächst über die erste Relation, Ok.

Hier hilft enorm folgende Vorbetrachtung: gilt genau dann wenn , und zwar wegen .

Damit gilt
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es geht um die erste. Hatte ich vergessen anzugeben.

Sorry.

Zitat:
Original von HAL 9000
Hier hilft enorm folgende Vorbetrachtung: gilt genau dann wenn , und zwar wegen .

Damit gilt

Wie kommt man auf so eine Idee? Ok, den Rest bekomme bzgl. der a) bekomme ich alleine hin. smile

b) Hier würde ich sagen, dass sie nicht reflexiv ist, da z.B. das Paar ist. Oder? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yasminx3
Wie kommt man auf so eine Idee?

Die Idee, dass immer durch 3 teilbar ist? Naja, eine intellektuelle Höchstleistung ist das m.E. nicht. Augenzwinkern
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich realisiere grad, dass ich die b) falsch niedergeschrieben habe.

Es geht eher darum:



Beweis:

reflexiv: Die Reflexivität gilt für alle Paare , da und .

symmetrisch: Wenn .
Es gilt:


transitiv: Wenn

Wenn also und , dann folgt automatisch

Bei der Transitivität bin ich mir unsicher, ob es bis dahin schon ausreicht. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

b) 3,8,14
c) denke daran, wie Aequivalenzrelationen mit Klasseneinteilungen zusammenhängen
 
 
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Elvis smile

Die Äquivalenzklassen hatten wir zwar schonmal eingeführt. Aber wofür man die braucht, wurde nie wirklich erklärt. Ich versuch das mal anzuwenden.

Also, jede Äquivalenzrelation kann man irgendwie in Äquivalenzklassen aufteilen und jedes Element aus einer Äquivalenzklasse ist der jeweilige Repräsentant der Klasse.

Meine Vermutung ist, dass man hier nur eine Äquivalenzklasse hat, also:
Das wären Repräsentanten der Klasse.


Wie ich da aber irgendwie auf die Äquivalenzrelation schließen kann, weiß ich leider nicht. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

und ähneln sich, denn es sind





(letzteres wegen ), d.h., es geht in beiden Fällen um , einmal für und dann für .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Yasminx3
c) Es gibt die beiden Klassen [1]=gerade natürliche Zahlen und [2]=ungerade natürliche Zahlen, weil die Summe aus zwei geraden oder zwei ungeraden Zahlen gerade ist. Also liegt eine Äquivalenzrelation vor. Mathematik als Handwerk benutzt Definitionen, Sätze und Beweise; Mathematik als Kunst geht für Beweise nicht immer auf die ursprünglichen Definitionen zurück sondern benutzt Begriffe und deren Zusammenhänge. Überwinde deinen übergroßen Respekt vor Beweisen, fange damit an, indem du deine Threads nicht "Beweise führen" sondern hier z.B. "Äquivalenzrelationen ?" nennst.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
und ähneln sich, denn es sind







(letzteres wegen ), d.h., es geht in beiden Fällen um , einmal für und dann für .

Das ist mir tatsächlich aufgefallen. Das heißt ja eigentlich, wenn ich das eine gezeigt habe, also ,dann muss ich nicht mehr das zeigen: verwirrt


@Elvis
Nochmal fürs Verständnis.

Ich habe mal kurz ein Bild hochgeladen, um meine Verständnislücke daran zu erklären.

[attach]52221[/attach]

Wenn ich die natürlichen Zahlen in zwei Klassen einteile, also einmal die geraden und ungeraden Zahlen. Wenn ich nun eine ungerade Zahl mit einer ungeraden Zahl addiere, erhalte ich eine gerade Zahl. Zur Übung habe ich mal versucht dazu einen Beweis zu machen.

Seien





Wenn ich allerdings einen Repräsentanten aus der Klasse der ungeraden Zahlen nehme. Dann lande ich in der anderen Klasse. Aber muss ich nicht wieder in derselben Klasse landen? verwirrt



Zitat:
Überwinde deinen übergroßen Respekt vor Beweisen, fange damit an, indem du deine Threads nicht "Beweise führen" sondern hier z.B. "Äquivalenzrelationen ?" nennst.


Habe ich versucht, aber kann es leider nicht mehr editieren. ^^
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, man kann eine Addition der Klassen definieren, indem man Vertreter der Klassen addiert. Das ergibt die Addition [1]+[1]=[2]+[2]=[2], [1]+[2]=[2]+[1]=[1]. Eine Äquivalenzrelation, die so mit einer Rechenoperation verträglich ist, nennt man eine Kongruenzrelation.
Das ändert nichts daran, dass es eine Klasseneinteilung gibt, die natürlichen Zahlen zerfallen in gerade und ungerade Zahlen. Zwei natürliche Zahlen sind genau dann äquivalent, wenn sie in derselben Klasse liegen. Zwei natürliche Zahlen sind genau dann äquivalent, wenn ihre Summe gerade ist. Also ist U eine Äquivalenzrelation auf den natürlichen Zahlen.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, verstehe ich das richtig. Dadurch das man die natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen partitioniert, ist die Folgerung das eine Äquivalenzrelation ist. verwirrt

Das Thema macht mich schon verrückt. Ich habe mir schon soviel darüber angeguckt, auch Videos angeschaut, sehr viele sogar, aber die Verbindung zwischen Klassen und Relationen, das ich da irgendwie Sachen mit beweisen kann, will einfach nicht in mein Kopf. unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dann noch einmal kinderleicht erklärt. Ein Skatspiel hat 32 Karten, vier Farben, karo, herz, pik, kreuz, das sind vier Klassen. Gleichfarbig ist die Äquivalenzrelation: die karo Dame ist äquivalent zur karo zehn, nicht äquivalent zum kreuz König. Das ist wirklich alles, mehr steckt nicht dahinter, alles in einer Klasse ist äquivalent, alle äquivalenten Elemente bilden eine Klasse.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel habe ich glaube ich verstanden. smile

Dann sei in unserem Fall das Skatspiel die natürlichen Zahlen. Unsere Klassen sind einmal die geraden und ungeraden Zahlen.

Auf das Beispiel bezogen, wäre in dem Fall die nicht äquivalent zu , da sie nicht in derselben Klasse ist. Hingegen ist

Wie genau die natürlichen Zahlen partitioniert werden, hängt von der Relation ab? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, 1 nicht aequivalent zu 2, 2 ist aequivalent zu 4, ja, so ist das.
Wie die Menge zerlegt wird, hängt mit der Aequivalenzrelation direkt zusammen, ja. Man kann das Skatspiel auch nach Wert zerlegen, dann sind alle Neunen und alle Buben aequivalent, und es gibt 8 Klassen. Man hat wie immer auch die Gleichheit als Aequivalenzrelation, dann ist das pik As zu sich selbst aequivalent und zu nichts sonst, und es gibt 32 Klassen. Unabhängig von Sinn und Zweck kann man das Skatspiel in mindestens eine und höchstens 32 Klassen zerlegen, zu jeder Zerlegung gehört eine Aequivalenzrelation, zu jeder Aequivalenzrelation gehört eine Zerlegung. Ganz praktisch nimmt man ein Skatspiel in die Hand und macht daraus Häufchen, das und nichts anderes ist eine Aequivalenzrelation. (Nachdem ich das verstanden hatte, war Mathematik plötzlich viel einfacher für mich als vorher. Deshalb erkläre ich das immer wieder gern ausführlich an diesem Beispiel, vielleicht hilft es.)
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank für die tolle ausführliche Erklärung. Jetzt ist es definitiv klarer, viel klarer. smile
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