Wohnungen und Etagen

29.11.2020, 20:53

Yasminx3

Wohnungen und Etagen

Betrachten Sie ein Haus mit einer Ihnen unbekannten endlichen Anzahl von Etagen
(mindestens 2). Auf jeder Etage gibt es genau zwei Wohnungen (eine links, eine rechts)
und außer auf der untersten Etage liegt direkt unter jeder Wohnung genau eine
weitere. Alle Wohnungen sind bewohnt, niemand bewohnt 2 Wohnungen. Bezeichne
U die Relation „wohnt direkt unter“ und N die Relation „wohnt auf derselben Etage
gegenüber“. Ordnen Sie den Beziehungen a) - c) eine oder mehrere der folgenden
Relationen zu:
1) $\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty} N \circ U^i \cup \cup_{i=1}^{\infty} U^i \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} N \circ N \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} U \cup (U \circ U^{-1}) \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} (U \circ U^{-1} ) \cup (U^{-1} \circ U) \end{eqnarray*}$
5) $\begin{eqnarray*} N \cup (N \circ N^{-1}) \end{eqnarray*}$
6) $\begin{eqnarray*} (N \cup N^2) \circ \cup_{i=1}^{\infty}U^i \end{eqnarray*}$
7) $\begin{eqnarray*} (U \circ N \circ U^{-1} \circ N) \cup (U^{-1} \circ N \circ U \circ N) \end{eqnarray*}$
8) $\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty}N^i \end{eqnarray*}$

(a) „wohnt in derselben Wohnung wie“
(b) „wohnt auf derselben Etage wie“
(c) „wohnt auf niedrigerer Etage als“
Geben Sie je zwei Möglichkeiten an, folgende Beziehungen mit den Relationen U und
N und den oben genutzten Operationen auszudrücken:
(d) „wohnt schräg unter“ (1 Etage tiefer)
(e) „wohnt auf derselben Seite wie“
Formulieren Sie folgende Aussagen umgangssprachlich:
(f) $\begin{eqnarray*} (Jana, Jana) \in N^2 \wedge \forall x ; (x, Jana) \notin U \end{eqnarray*}$
(g) $\begin{eqnarray*} \exists x: ((Alice, x) \in N \wedge (x, Bob) \notin N) \end{eqnarray*}$

Diese Aufgabe habe ich mir vorgenommen als Übung mal zu lösen. Fand ich sehr interessant, sieht aber sehr komplex aus. Aber vielleicht kann mir da jemand helfen.

1) $\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty} N \circ U^i \cup \cup_{i=1}^{\infty} U^i \end{eqnarray*}$

Zitat:

2) $\begin{eqnarray*} N \circ N \end{eqnarray*}$

Zitat:

3) $\begin{eqnarray*} U \cup (U \circ U^{-1}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

c),a)

4) $\begin{eqnarray*} (U \circ U^{-1} ) \cup (U^{-1} \circ U) \end{eqnarray*}$

Hat jemand vielleicht eine Idee für die vierte? verwirrt

30.11.2020, 06:31

Elvis

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Diese Aufgabe erfordert Nachdenken auf Grundlage von Definitionen, die du angeben musst, sonst kann niemand mitdenken. Lösungswege musst du so ausführlich wie nötig beschreiben und die Lösungen sorgfältig darstellen. Wenn du keine Lust hast, deine Arbeit zu machen, dann motiviert das nicht, dir zu helfen. Die Aufgabe selbst ist völlig uninteressant, der einzige Sinn besteht darin, dass du daran arbeitest, um mit den Begriffen vertraut zu werden. Daraus ein Ratespiel zu machen verfehlt leider den Sinn und Zweck.

30.11.2020, 10:51

Yasminx3

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Du hast natürlich recht. Tut mir leid.

Definitionen:
T und B sind Relationen auf A.

$\begin{eqnarray*} T \circ B =\{(x, z) \in A \times A | \exists y \in A : xRy \wedge yBz\} \end{eqnarray*}$

U ist eine Relation.

$\begin{eqnarray*} U^{-1} = \{(y, x) | xUy\} \end{eqnarray*}$

M ist eine beliebige Relation auf A.
$\begin{eqnarray*} \cup M = \cup_{R\in M} R = \{(x, y) | \exists R \in M : xRy\} \end{eqnarray*}$

R und F sind Relationen auf A.
$\begin{eqnarray*} R\cup F = \{(x, y) \in A \times A |xRy \ \text{oder} \ xFy\} \end{eqnarray*}$

Gedanken für Aufgabe 1)

Zuallererst habe ich mir überlegt den rechten Teil zu betrachen: $\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty} U^i \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} U^1 \cup (U \circ U) \cup (U \circ U \circ U) \cup ... \end{eqnarray*}$

U heißt ja, dass x wohnt direkt unter y, das ist ja so gesehen dasselbe wie wenn man auf einer niedrigeren Etage lebt.

$\begin{eqnarray*} U^2 \end{eqnarray*}$ heißt ja, wenn x direkt unter y wohnt, dann wohnt y direkt und z und das kommt dann auf dasselbe hinaus, das x auch wieder auf einer niedrigeren Etage lebt.

$\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty} N \circ U^i \end{eqnarray*}$

Wenn x auf derselben Etage gegenüber von y lebt und y wohnt direkt unter z. Heißt dann sogesehen, das sie schräg gegenüber leben, aber dennoch auf einer niedrigeren Etage: Also, würde ich hier in diesem Fall als Ergebnis sagen:

Zitat:

Gedanken für Aufgabe 2)

Wenn x auf derselben Etage aber gegenüber von y lebt, dann wohnt y auf derselben Etage gegenüber von z. Heißt, wir würden wieder bei x landen. Und somit leben sie in derselben Wohnung. Aus diesem Grund würde ich. Eigentlich könnte man auch sagen, dass sie auf derselben Etage leben, aber irgendwie impliziert das eine das andere.

Zitat:

Gedanken für Aufgabe 3)

Zuallererst habe ich mir Gedanken darüber gemacht, wie $\begin{eqnarray*} U^{-1} \end{eqnarray*}$ aufzufassen ist. Nach Definiton $\begin{eqnarray*} U^{-1} = \{(y, x) | xUy\} \end{eqnarray*}$ .

Diesmal ist es so, dass y direkt unter x lebt und nicht x direkt unter y. Betrachten wir wieder folgendes: $\begin{eqnarray*} (U \circ U^{-1}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt so über die Aufgabe 3 nachdenke, weiß ich auch nicht, wie ich auf c) und a) gekommen bin. verwirrt

Wie könnte ich da meine Überlegung weiterführen? verwirrt

30.11.2020, 11:45

Elvis

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In der Mathematik muss dir nichts leid tun. Da gibt es nur richtig und falsch. Versuche, es richtig zu machen.

Zitat:

Original von Yasminx3

T und B sind Relationen auf A.

$\begin{eqnarray*} T \circ B =\{(x, z) \in A \times A | \exists y \in A : xRy \wedge yBz\} \end{eqnarray*}$

So darfst du schon nicht anfangen. A ist nicht definiert, was soll also eine Relation auf A sein ? Was ist dann T und B, wenn in der Aufgabe von Relationen U und N die Rede ist ? Was ist überhaupt eine Relation ? Eine Menge oder eine Abbildung ? Wie ist die Verknüpfung (von Abbildungen) und die Vereinigung (von Mengen) definiert ? Was ist eine unendliche Vereinigung ? Welche Eigenschaften haben diese Operationen ? Welche Prioritätsregeln gelten, wenn in einer Formel mehrere Operationen auftreten ? Wie kann man den Zusammenhang zwischen Relationen und Aussagen verstehen ? Ich verstehe leider gar nichts.

30.11.2020, 14:30

Elvis

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Vorschlag: Wenn man Relationen zwischen Objekten betrachten möchte, fasst man die Objekte zu einer Menge zusammen (vgl. Georg Cantor "Eine Menge ist ..."). In der Aufgabe geht es also um Relationen auf der Menge der Hausbewohner. Das muss man sich erst einmal bewußt machen, dass es nicht wie bei allgemeinen Definitionen um abstrakte Dinge geht, sondern bei Aufgaben oft um ganz konkrete Dinge, sonst kann man nicht über diese Dinge reden.

Tipp : Jeder Buchstabe, der benutzt wird, muss erklärt werden und im gesamten Zusammenhang eine eindeutige Bedeutung haben.

30.11.2020, 17:09

Yasminx3

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Erstmal vorab, danke nochmals Elvis. Es ist mir allgemein hier eine sehr große Hilfe.

Wir hatten nur Relationalstrukturen, aber wirklich nie definiert, was wir mit einer Relation wirklich meinen. Wir hatten bisher immer eine Träger oder Grundmenge und Relationen auf diese Mengen definiert. Beispielsweise die $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},\geq) \end{eqnarray*}$ , größergleich Relation.

In meinem Fall habe ich beliebige Mengen gewählt, um aufzuschreiben, wie wir die Vereinigung, die transponierte Relation oder das Produkt oder die Komposition zwischen zwei Relationen genau definiert haben. Aber, ich verstehe schon das Problem, es hängt natürlich davon ab, wie wir was genau definiert haben.

Zitat:

Ah ja, jetzt verstehe ich das. Die Relation bezieht sich immer auf eine Grundmenge.

Der Buchstabe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auf die Menge A (wenn A die Menge Hausbewohner beschreibt) die Relation "wohnt direkt unter".

Formal:

$\begin{eqnarray*} U = \{(x,y) | \ x \ \text{wohnt direkt unter} \ y \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U^{-1}=\{(y,x) | \ x \ \text{wohnt direkt unter} \ y \} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 1)

$\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty} N \circ U^i \cup \cup_{i=1}^{\infty} U^i <br /> \end{eqnarray*}$

(1) $\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty} U^i <br /> \end{eqnarray*}$

[attach]52227[/attach]

(2) $\begin{eqnarray*} \cup_{i=1}^{\infty} N \circ U^i \end{eqnarray*}$
[attach]52228[/attach]

Daraus schließe für die erste Aufgabe, dass die neuentstandene Relation c) beschreibt. verwirrt

30.11.2020, 18:36

Elvis

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$\begin{eqnarray*} (+) \end{eqnarray*}$ Wir kommen der Sache wesentlich näher, weil du allmählich anfängst, dich mit dem Haus und seinen Bewohnern (=Grundmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) zu beschäftigen. Das ist die richtige Sichtweise, und die Relationen sind wichtige mathematische Werkzeuge, um die Verhältnisse in diesem Haus zu beschreiben.

Zitat:

Original von Yasminx3
Formal:
$\begin{eqnarray*} U = \{(x,y) | \ x \ \text{wohnt direkt unter} \ y \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U^{-1}=\{(y,x) | \ x \ \text{wohnt direkt unter} \ y \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-) \end{eqnarray*}$ Yasminx3 musste mit vier Jahren Klavierunterricht nehmen und durfte nicht Sesamstraße sehen. Dadurch hat sie das folgende Beispiel für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U^{-1} \end{eqnarray*}$ verpasst, wir werden diese Bildungslücke umgehend schließen. Augenzwinkern

Ernie und Bert wohnen im selben Haus (Ernie und Bert sind Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ), Ernie $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ Bert $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow ( \end{eqnarray*}$ Ernie $\begin{eqnarray*} , \end{eqnarray*}$ Bert $\begin{eqnarray*} )\in U\Leftrightarrow ( \end{eqnarray*}$ Bert $\begin{eqnarray*} , \end{eqnarray*}$ Ernie $\begin{eqnarray*} )\in U^{-1}=:Ü \end{eqnarray*}$ . Ernie wohnt direkt unter Bert. Wo wohnt Bert ? Hinweis: die richtige Antwort ist nicht "Ernie wohnt direkt unter Bert."

$\begin{eqnarray*} (+) \end{eqnarray*}$ Deine Skizze vom Haus ist mnemotechnisch sehr hilfreich und inhaltlich richtig (oder fast richtig, $\begin{eqnarray*} N\circ U^i \end{eqnarray*}$ geht erst $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mal nach oben und dann nach rechts (oder links) schräg gibt es nicht), so etwas sollte man immer machen, aber bedenke, dass dies kein mathematischer Beweis ist. Wenn es sein muss, kann man mittels Skizzen, Gedanken und Worten einen Beweis entwerfen, den man dann nur noch formal aufschreiben muss.

$\begin{eqnarray*} (-) \end{eqnarray*}$ Muss man aber nicht, denn in der Aufgabe ist zunächst gefragt "ordnen Sie a)-c) Relationen 1)-8) zu". Beachte: Auch bei der Lösung der Aufgabe musst du stets bedenken ob die Antworten Relationen von "Ziffern"x"Buchstaben" oder umgekehrt Relationen von "Buchstaben"x"Ziffern" sein sollen.

Nachtrag: Nein, ich mache mich nicht über dich lustig, ich habe lediglich Spaß an der Aufgabe und an deinen Fortschritten, und ein paar eingestreute Scherze sollen die triste Umgebung nur ein wenig auflockern. Wink

30.11.2020, 22:55

Yasminx3

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Zitat:

Nachtrag: Nein, ich mache mich nicht über dich lustig, ich habe lediglich Spaß an der Aufgabe und an deinen Fortschritten, und ein paar eingestreute Scherze sollen die triste Umgebung nur ein wenig auflockern.

Alles gut. Big Laugh

Zitat:

Ernie wohnt direkt unter Bert. Bert wohnt direkt unter Ernie. Daraus würde ich schließen, dass sie in derselben Wohnung leben.

Ich versuche das mal auf diese Aufgabe anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} (\text{Ernie},\text{ Bert}) \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \cup (U \circ U^{-1}) \end{eqnarray*}$

Ernie wohnt also direkt unter Bert oder Ernie wohnt direkt unter Bert, Samantha wohnt aber direkt unter Bert.

[attach]52229[/attach]

Eigentlich würden sie ja dann wieder in derselben Wohnung leben, aber dann hätte ich zwei Lösungen, einmal das (a) „wohnt in derselben Wohnung wie“ und (c) „wohnt auf niedrigerer Etage als“, aber nur eines davon darf richtig sein, meinten die zumindest. verwirrt

01.12.2020, 07:15

Elvis

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Ernie wohnt direkt UNTER Bert, also wohnt Bert direkt ÜBER Ernie. Das lernt man wirklich als Kind bei Sesamstraße. Das ist ein realistisches Beispiel für eine Relation $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und die umgekehrte Relation $\begin{eqnarray*} U^{-1} \end{eqnarray*}$ . Mathematik ist kein theoretisches Gelaber, Mathematik ist die präzise Beschreibung der wirklichen Welt und aller möglichen Welten.

01.12.2020, 12:57

Yasminx3

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Ah ja, sorry. Ist ja klar. smile

Wir haben heute die Aufgabe besprochen und habe das Beispiel von Ernie und Bert genommen und dann wurde die Aufgabe anhand dieses Beispiels bis zum Ende hin durchgearbeitet. Also, hatte da voll den Durchblick. Danke nochmals. Freude

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